Question

Вычислить предел функции или числовой последовательности lim x→П $\frac{ln cos2x}{ln cos4x}$

Answer 1

ответ: 1/4.

Пошаговое объяснение:

При x⇒π числитель и знаменатель стремятся к нулю, поэтому имеем здесь неопределённость вида 0/0. Для её раскрытия применим правило Лопиталя. [ln cos(2*x)]'=-2*sin(2*x)/cos(2*x), [ln cos(4*x)]'=-4*sin(4*x)/cos(4*x),

[ln cos(2*x)]'/[ln cos(4*x)]'=1/2*cos(4*x)/cos(2*x)*sin(2*x)/sin(4*x). Предел произведения 1/2*cos(4*x)/cos(2*x) при x⇒π равен 1/2, а так как sin(4*x)=2*sin(2*x)*cos(2*x), то sin(2*x)/sin(4*x)=1/2*1/cos(2*x). Предел этого выражения при x⇒π тоже равен 1/2, поэтому искомый предел равен 1/2*1/2=1/4.

Answer 2

при $x\to 0$$\ln(1+x)\sim x$

$\lim\limits_{x\to \pi} \frac{\ln\cos 2x}{\ln \cos 4x}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{\ln(\cos 2x-1+1)}{\ln(\cos 4x-1+1)}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{\cos 2x-1}{\cos 4x-1}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{1-2\sin^2x-1}{1-2\sin^22x-1}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to \pi}\frac{\sin^2x}{\sin^22x}=\lim\limits_{x\to \pi}\frac{x^2}{(2x)^2}=\frac{1}{4}$