Question

Периметр осевого сечения конуса равен 24 см, а угол наклона образующей к плоскости основания равен 60°. Найдите площадь полной поверхности конуса и его объем.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания

Если угол у основания этого треугольника равен 60° то и второй угол у снования 60°, следовательно,  угол у вершины равен 180° - 2*60° = 60°.

Поэтому образующая  l = d = 24:3 = 8 (cм).                

радиус основания r = d:2 = 8:2 =4 (см).

Тогда боковая поверхность конуса

Sб = π r l = π * 4 * 8 = 32π cм2

Площадь основания это круг, находим по формуле:

Sосн.= π r^2= π 4^2= 16π см2

Площадь полной поверхности:

Sп.п=Sб+Sосн= 32π +16π=48π см2

найдем высоту согласно т. Пифагора

h=√l^2-R^2=√8^2-4^2=√64-16=√48 =6,9 см

Объем равен:

V=1/3π r^2*h= 1/3π*4^2* 6,9= 36,8π см3

Answer 2

1) Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник.

У него боковые стороны - это образующие конуса, а в основании - диаметр основания конуса.

По условию каждый из двух углов при основании равен 60°, значит, и третий угол треугольника равен 60°.

180°-2·60°=60°

2) Итак, осевое сечение конуса - это равносторонний треугольник с периметром равным 24 см.

24 см : 3 = 8 см

$l=8$ см - образующая конуса

$D=2r=8$ см диаметр его

$r=8:2=4$ см

3) По теореме Пифагора находим высоту $h$.

  $h^2=l^2-r^2$

  $h^2=8^2-4^2=48$

  $h=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

4)  $S=\pi r(r+l)$

  $S=\pi *4*(4+8)=48\pi$

 $\pi =3$     =>    $S=3*48=144$  см²

5)   $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

     $V=\frac{1}{3}*\pi *4^2*4\sqrt{3} =\frac{64\sqrt{3} \pi }{3}$

     $\pi =3=$    $V=\frac{64\sqrt{3}*3 }{3}=64*\sqrt{3}=64*1.7=108.8$ см³

ответ:   $S=48\pi$ см²    ≈ 144см²

             $V=\frac{64\sqrt{3} \pi }{3}$  см³   ≈ 108,8 см³