Question

Здравствуйте, а можете с заданием "Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнениеx^2+(a-2)^2=|x+a-2|+|x-a+2| имеет только один корень. Буду очень благодарна!

Answer 1

a = 0   или a = 4

Пошаговое объяснение:

Answer 2

$x^{2} + (a - 2)^{2} = |x + a - 2| + |x - a + 2|$

Рассмотрим правую часть уравнения.

Найдем нули модулей:

$1) \ x_{01} + a - 2 = 0; \ x_{01} = 2 - a$

$2) \ x_{02} - a + 2 = 0; \ x_{02} = a - 2$

Тогда $x_{01} x_{02}$ при $a < 2$ и $x_{01} < x_{02}$ при $a 2$.

➠ Если $x_{01} = x_{02}$, то есть если $a = 2$, то имеем:

$x^{2} + (2 - 2)^{2} = |x + 2 - 2| + |x - 2 + 2|$

$x^{2} = |x| + |x|$

$|x|^{2} - 2|x| = 0$

$|x|(|x| - 2) = 0$

$\displaystyle \left [ {{|x| = 0, \ \ \ \ } \atop {|x| - 2 = 0}} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ {{x = 0 \ \ } \atop {x = \pm 2}} \right.$

Имеем три корня. Таким образом, вариант $a = 2$ не подходит.

➠ Если $a < 2$, то:

$\text{I}) \ x \in (-\infty; \ a - 2):$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = -(x + a - 2) - (x - a + 2)$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = -x - a + 2 - x + a - 2$

$x^{2} + 2x + (a - 2)^{2} = 0$

Имеем квадратное уравнение. Для того чтобы это уравнение имело один корень, нужно чтобы дискриминант данного уравнения был равен нулю:

$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2)^{2} = 4 - 4a^{2} + 16a - 16 = -4a^{2} + 16a - 12$

$D = 0$ при $a = 1 < 2$ и $a = 3 2$

Таким образом, при $a = 1$ имеем решение.

$\text{II}) \ x \in [a - 2; \ 2 - a]:$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = -(x + a - 2) + (x - a + 2)$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = -x - a + 2 + x - a + 2$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = 4 - 2a$

$x^{2} = 4 - 2a - (a - 2)^{2}$

Данное квадратное уравнение будет иметь один корень, если его правая часть будет равна нулю:

$4 - 2a - (a - 2)^{2} = 0$

$4 - 2a - (a^{2} - 4a + 4) = 0$

$a^{2} - 4a + 4 - 4 + 2a = 0$

$a^{2} - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

$\displaystyle \left [ {{a = 0 \ \ \ \ \ } \atop {a - 2 = 0}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \left [ {{a = 0} \atop {a = 2}} \right.$

Таким образом, при $a = 0$ имеем единственное решение.

$\text{III}) \ x \in (2 - a; \ +\infty):$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = (x + a - 2) + (x - a + 2)$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = 2x$

$x^{2} - 2x + (a - 2)^{2} = 0$

$D =(-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a-2)^{2} = 4 - 4a^{2} + 16a - 16 = -4a^{2} + 16a - 12$

$D = 0$ при $a = 1 < 2$ и $a = 3 2$

Таким образом, при $a = 1$ имеем решение.

Следовательно, при $a = 1$ имеем два решения.

➠ Если $a 2$, то:

$\text{I}) \ x \in (-\infty; \ 2 - a):$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = -(x + a - 2) - (x - a + 2)$

$x^{2} + 2x + (a - 2)^{2} = 0$

$D = -4a^{2} + 16a - 12$

$D = 0$ при $a = 1 < 2$ и $a = 3 2$

Таким образом, при $a = 3$ имеем решение.

$\text{II}) \ x \in [2 - a; \ a - 2]:$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = (x + a - 2) - (x - a + 2)$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = x + a - 2 - x + a - 2$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = 2a - 4$

$x^{2} = 2a - 4 - (a - 2)^{2}$

$2a - 4 - (a - 2)^{2} = 0$

$\displaystyle \left [ {{a = 2} \atop {a = 4}} \right.$

Таким образом, при $a = 4$ имеем единственное решение.

$\text{III}) \ x \in (2 - a; \ +\infty):$

$x^{2} + (a - 2)^{2} = (x + a - 2) + (x - a + 2)$

$x^{2} - 2x + (a - 2)^{2} = 0$

$D = -4a^{2} + 16a - 12$

$D = 0$ при $a = 1 < 2$ и $a = 3 2$

Таким образом, при $a = 3$ имеем решение.

Следовательно, при $a = 3$ имеем два решения.

ответ: $a = \{0; \ 4 \}$