Question

Найдите наибольшее значение функции y=x/(x^2+a^2) на промежутке

Answer 1

$y=\dfrac{x}{x^2+a^2}=y'=\dfrac{1*(x^2+a^2)-x*2x}{(x^2+a^2)^2}=\dfrac{a^2-x^2}{(x^2+a^2)^2}=\dfrac{-(x-|a|)(x+|a|)}{(x^2+a^2)^2}$

y': 0++++++++|a|----------->

|a|>0: Наибольшее значение достигается в x=|a|, и имеет значение $y=\dfrac{|a|}{|a|^2+a^2}=\dfrac{1}{2|a|}$

|a|=0: Критических точек функция не имеет и убывает на всей области задания. $\lim\limits_{x\to^ +0}\dfrac{x}{x^2+0^2}=\lim\limits_{x\to^ +0}\dfrac{1}{x}=+\infty$ - о наибольшем значении сказать ничего нельзя.