Question

Найти длину дуги кривой φ=$\frac{1}{2} (r+\frac{1}{r})$ от r=1 до r=3 С РЕШЕНИЕМ (В полярных координатах, r-полярный радиус, φ - полярный угол) ( задача 1684 из Демидовича для втузов(4 издание) )

Answer 1

$\int\limits^3_1 sqrt(alpha'^2r^2+1) \, dr$(1)

α=(1/2)*(r+1/r)

Используем формулу длины дуги кривой  (1),

/не нашел фи, вместо нее в формулу поставил альфа/, получим

α'=(1/2)*(1-(1/r²))=1/2-(1/(2r²)

α'²=(1/4+(1/(4r⁴))-1/(2r²))

r²α'²+1=(r²/4)+(1/(4r²))-(1/(2)+1=(r²/4)+(1/(4r²))+(1/(2)=((r/2)+(1/(2r)))²

√((r/2)+(1/(2r)))²=(r/2)+(1/(2r)

$\int\limits^3_1 {((r/2)+(1/(2r))} \, dr$=r²/4+lnIrI/2

Подставим пределы интегрирования. получим 3²/4+(ln3)/2-(1/4-ln1)=

8/4-(ln3)/2=2-(ln3)/2