Question

Углубленная алгебра, 8 класс. Неравенства. 1. Верно ли, что если x+y≥2, то x²+y²≥2? 2. Объясните, что произойдет с величиной положительной рациональной дроби, если её числитель увеличить на 1, тогда как знаменатель - на 2. Обоснованно. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Да верно. так как х+y≥2, то (x+y)^2≥4, то есть x^2+2xy+y^2≥4. Заметим, что (x-y)^2≥0, тогда x^2+y^2-2xy≥0 или x^2+y^2≥2xy. Тогда 2(x^2+y^2)≥x^2+y^2=2xy≥4 ⇒ x^2+y^2≥2

2) Вычтем старую дробь из новой: $\frac{p+1}{q+2} -\frac{p}{q} = \frac{pq+q-pq-2p}{q(q+2)} =\frac{q-2p}{q(q+2)}$ из этого мы видим, что если q>2p (дробь<1/2), то новая дробь будет больше, если q<2p (дробь >1/2), то новая дробь будет меньше, а ели q=2p (дробь =1/2), то дробь не изменится