Question

При каких значениях параметра a уравнение не имеет решений?$\frac{x^{2}-4x+3 }{x^{2} -5x+4} =a$

Answer 1

$\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-5x+4}=a$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2-4x+3=x^2-x-3x+3=x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3)\\x^2-5x+4=x^2-x-4x+4=x(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x-4)$

Уравнение примет вид:

$\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-4)}=a$

Знаменатель не может обращаться в ноль, значит:

$x\neq 1,\ x\neq 4$

Учитывая это, сократим дробь:

$\dfrac{x-3}{x-4}=a$

Решим уравнение:

$x-3=ax-4a$

$ax-x=4a-3$

$(a-1)x=4a-3$

Если $a=1$, то получим неверное равенство $0=1$. Значит, при $\boxed{a=1}$ уравнение не имеет решений.

Если $a\neq 1$, то разделим обе части на $(a-1)$:

$x=\dfrac{4a-3}{a-1}$

Остается выяснить, при каких значениях $a$ такая дробь дает недопустимые значения $x=1$ и $x=4$, при которых в исходном уравнении обнуляется знаменатель.

Приравняем дробь к 1:

$\dfrac{4a-3}{a-1}=1$

$4a-3=a-1$

$3a=2$

$a=\dfrac{2}{3}$

При $\boxed{a=\dfrac{2}{3}}$ исходное уравнение не имеет решений.

Приравняем дробь к 4:

$\dfrac{4a-3}{a-1}=4$

$4a-3=4a-4$

$-3=-4$

Получено неверное равенство, значит этот случай не реализуется.

Окончательно получим, что при $a\in\left\{\dfrac{2}{3} ;\ 1\right\}$ уравнение не имеет решений.

ответ: $a\in\left\{\dfrac{2}{3} ;\ 1\right\}$