Question

Указать число корней уравнения tg3x sin6x+cos6x - cos12x=0 на отрезке [0; 360]градусов.

Answer 1

$7$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:  $\cos{3x} \neq 0 \Leftrightarrow 3x\neq \frac{\pi}{2} +\pi n,~n \in Z \Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{6} +\frac{\pi n}{3} ,~n \in Z$

$tg3x\cdot \sin{6x}+\cos{6x}-\cos{12x}=0 \\\\ \frac{\sin{3x}}{\cos{3x}}\cdot \sin{(2\cdot 3x)}+(-2)\cdot \sin{\frac{6x-12x}{2} }\cdot \sin{\frac{6x+12x}{2}}=0\\\\ \frac{\sin{3x}}{\cos{3x}}\cdot 2\sin{3x}\cos{3x}-2\sin{\frac{-6x}{2} }\sin{\frac{18x}{2} }=0 \\ \\ 2\sin^2{3x}-2\sin{(-3x)}\sin{9x}=0 \\ \\ 2\sin^2{3x}-2(-\sin{3x})\sin{9x}=0$

$2\sin^2{3x}+2\sin{3x}\sin{9x}=0\\ \\2\sin{3x}\cdot(\sin{3x}+\sin{9x})=0\\ \\2\sin{3x}\cdot 2\sin{\frac{3x+9x}{2}}\cos{\frac{3x-9x}{2}}=0\\ \\4\sin{3x}\cdot \sin{\frac{12x}{2}}\cdot \cos{\frac{-6x}{2}}=0\\ \\4\sin{3x}\cdot \sin{6x}\cdot \cos{(-3x)}=0\\ \\4\sin{3x}\cdot \sin{(2\cdot 3x)}\cdot \cos{3x}=0\\ \\$

$4\sin{3x}\cdot 2\cdot \sin{3x} \cdot \cos{3x}\cdot \cos{3x}=0\\ \\8\sin^2{3x}\cos^2{3x}=0$

так как $\cos{3x}\neq 0$, то

$\sin^2{3x}=0\\\\\sin{3x}=0\\\\ 3x=\pi n,~n \in Z\\\\ x=\frac{\pi n}{3} ,~n \in Z\\\\x=60^{\circ}\cdot n,~n \in Z\\$

Определим число корней уравнения на отрезке $[0^{\circ};360^{\circ}]$:

$0^{\circ}\leq 60^{\circ}\cdot n\leq 360^{\circ}\\\\0 \leq n\leq 6\\$

Так как n - целое число, то $n=0,1,2,3,4,5,6$

Имеем 7 значений n, значит, уравнение имеет 7 корней на отрезке $[0^{\circ};360^{\circ}]$