Question

Найдите все значения a, при которых уравнение $x^{3} +64 = a(x+4)$ имеет ровно два различных решения.

Answer 1

12; 48

Пошаговое объяснение:

$(x+4)(x^2-4x+16)-a(x+4)=0\\(x+4)(x^2-4x+16-a)=0$

Уравнение обязательно имеет одно решение: x = -4. Квадратное уравнение во второй скобке может иметь 0, 1 или 2 решения. Очевидно, нужно рассматривать последние два случая.

1. Если квадратное уравнение имеет одно решение, то оно должно отличаться от x = -4, так как требуется найти два различных решения.

2. Если квадратное уравнение имеет два решения, то одно из них должно равняться x = -4.

Случай 1:  $x^2-4x+16-a=0$ — 1 решение.

$D=16-4(16-a)=0\Leftrightarrow a=12$

При a = 12 $x^2-4x+4=0\Leftrightarrow x=2\neq -4$ — подходит.

Случай 2: $x^2-4x+16-a=0$ — 2 решения, одно из них x = -4.

$(-4)^2-4\cdot(-4)+16-a=48-a=0\Leftrightarrow a=48$

При a = 48 $x^2-4x-32=0\Leftrightarrow x=-4;8$ — подходит.