Question

Может ли из единиц 111+11+1+1+11+1+1+1+1+11=150 А) может ли получиться сумма 150, если n=60
Б) если n=80
В) сколько различных значений n при которых сумма 150?
Как доказывали?​

Answer 1

a) да  

б) нет

в) 16

Пошаговое объяснение:

в)

Пусть :

a- число чисел 111 ( a=0 ; 1)

b-число чисел 11

с- число чисел 1

n - число единиц.

Тогда верна система:

111a+11b+c=150

3a+2b+c = n

Рассмотрим случай : a=0

11b+c=150

2b+c= n

9b=150-n

n=150-9b

Из уравнения 1 видно, что максимальное целое неотрицательное b, при котором с неотрицательно bmax= 13 (0<=b<=13), а значит таких n существует 14 .

Рассмотрим случай : a=1

11b+c = 39

2b+c=n-3

9b = 42-n

n=42-9b

bmax= 3

То есть существует 4 таких n

Однако, в обоих случаях могут встречаться одинаковые значения n.

Определим их:

42-9b1 =150-9b2

0<=b1<=3

0<=b2<=13

9*(b2-b1) =108

b2-b1 = 12

Такое возможно, когда b2=13 и b1=1 или b2=12 и b1=0 (два общих n).

Таким образом, всего таких n : 14+4-2 =16

a)  Рассмотрим 1 случай и проверим :

11b+c=150

2b+c= 60

9b=90

b=10

c=40

То есть 40 единиц и 10 чисел 11.

б)

80=150 -9b или 42-9b

Правая часть  делится на 3, а левая нет.

То есть невозможно.