Question

Найдите число корней уравнения cos(x-π)-cos^2 4x = sin^2 4x- sin(x/2+3π/2) принадлежащих отрезку -π; 4π/3

Answer 1

$cos(x-\pi )-cos^24x=sin^24x-sin\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi }{2}\Big)\\\\-cosx-(cos^24x+sin^24x)+sin\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi }{2}\Big)=0\\\\-cosx-1-cos\dfrac{x}{2}=0\\\\-(1+cosx)-cos\dfrac{x}{2}=0\\\\-2cos^2\dfrac{x}{2}-cos\dfrac{x}{2}=0\\\\-cos\dfrac{x}{2}\cdot (2cos\dfrac{x}{2}+1)=0\\\\a)\ \ cos\dfrac{x}{2}=0\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ \ x=\pi +2\pi n\ ,\ n\in Z$

$b)\ \ cos\dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi k\ \ ,\ \ x=\pm \dfrac{4\pi}{3}+4\pi k\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in \Big[-\pi \, ;\, \dfrac{4\pi}{3}\, \Big]:\ x_1=\pi \ ,\ x_2=\pi \ ,\ x_3=\dfrac{4\pi}{3}\ .$

ответ:  3 корня.

Answer 2

cos(x-π)-cos²4x = sin²4x- sin(x/2+3π/2);

-cosx-cos²4x-sin²4x+sin(x/2+3π/2)=0;

-cosx-1-cos(x/2)=0;

-2cos²x/2-cosx/2=0;

-cosx/2*(2cosx/2+1)=0;

1) cosx/2=0⇒x/2=π/2+πn; n∈Z; x=π+2πn; n∈Z;

2)cosx/2=-1/2;  x/2=±2/3π+2πn; n∈Z; x=±4π/3+4πn; n∈Z;

Найдем корни, принадлежащие [-π;4π/3]

1) x=π+2πn; n∈Z;   -π≤π+2πn≤4π/3;-1≤1+2n≤4/3;-2≤2n≤1/3;-1≤n≤1/6;

n=-1;  x=π-2π=-π;  n=0;  x= π

2) x=±4π/3+4πn; n∈Z; а) x=4π/3+4πn; n∈Z;

-π≤4π/3+4πn≤4π/3;   -1≤4/3+4n≤4/3; n∈Z;   -7/3≤4n≤0;  -7/12≤n≤0; n=0; х=4π/3;

б) x=-4π/3+4πn; n∈Z;

-π≤-4π/3+4πn≤4π/3;   -1≤-4/3+4n ≤4/3; n∈Z;   1/3≤4n≤8/3;  1/12≤n≤2/3;нет корней.

Всего ТРИ корня.