Question

решить задачку, желательно полным решением, письменно. Заранее благодарю)

Answer 1

a=3

Пошаговое объяснение:

Первое уравнение имеет общий вид:

$\sqrt{kx+m}=-x+b$

Графиком функции y=√(kx+m) - является полупарабола.

Графиком функции y=-x+b -является прямая.

Оба этих графика могут пересекаться, максимум, в 2-х точках.

То есть исходное уравнение может иметь, максимум, 2 корня

Также второе уравнение:

$3\log_{m}(nx)=kx+b$

Может иметь не более 2-х корней

Нужно рассмотреть 3 случая:

1) оба уравнения имеют 2 корня, тогда по условию 2*2=a-2 ⇒ 4=a-2 ⇒ a=6

2) одно из уравнений имеет 1 корень, а второе - 2 корня, тогда 1*2=а-2 ⇒ а=4

3) оба уравнения имеют по 1 корню, тогда 1*1=а-2 ⇒ а=3

1 случай) а=6 (должно быть два корня в обоих уравнениях)

Подставляем в первое:

$\sqrt{(5*6-19)x+11*6-1} =2*6+3-x$

$\sqrt{11x+65} =15-x$

не решая это уравнение, можно сказать следующее:

Слева стоит возрастающая функция, справа - убывающая.

Когда возрастающая функция равна убывающей, то уравнение может иметь не более 1 корня!

Значит a=6 нам не подходит

2 случай) а=4 (одно уравнение имеет 1 корень, другое - 2 корня)

$\sqrt{(5*4-19)x+11*4-1} =2*4+3-x$

$\sqrt{x+43} =11-x$

Опять слева возрастающая функция, справа - убывающая, если есть корень, то он единственный!

$3\log_{3+4^2}\left( \frac{x\sqrt{4+4} }{4+1} \right)=11-(3+4)x$

$3\log_{19}\left( \frac{\sqrt{8} }{5}x \right)=11-7x$

слева возрастающая функция, справа - убывающая, если есть корень, то он единственный!

Получается, что при а=4 оба уравнения имеют максимум по 1-му корню, значит этот вариант нам тоже не подходит

3 случай) а=3 (оба уравнения имеют по одному корню)

$\sqrt{(5*3-19)x+11*3-1} =2*3+3-x$

$\sqrt{-4x+32} =9-x \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 9-x\geq 0\\ -4x+32=(9-x)^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 9\\ -4x+32=81-18x+x^2\end{matrix}\right.$

Отдельно решим уравнение:

$x^2-18x+4x+81-32=0 \\ x^2-14x+49=0 \\ (x-7)^2=0 \\ x=7$

Получился 1 корень.

$3\log_{3+3^2}\left( \frac{x\sqrt{3+4} }{3+1} \right)=11-(3+3)x \\ \\ 3\log_{12}\left( \frac{\sqrt{7} }{4}x \right)=11-6x \\ \\$

Для решения достаточно по точкам построить графики левой и правой части (см. рис.) и убедится что корень есть и он единственный.

Таким образом все условия задачи выполняются только при a=3