Question

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня

Answer 1

$a \in \left(-\infty; \ -\frac{4}{3}\right) \cup \left(-\frac{4}{3}\right;0)$

Пошаговое объяснение:

$\sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} x^2+2x-3a\geq 0\\ x^4-4x^2+9a^2=(x^2+2x-3a)^2\end{matrix}\right.$

Решим отдельно уравнение системы:

$x^2-4x^2+9a^2=x^4+4x^2+9a^2+4x^3-6ax^2-12ax \\ \\ 4x^3+8x^2-6ax^2-12ax=0 \\ \\ 2x(2x^2+4x-3ax-6a)=0 \\ \\ 1) \ 2x=0 \\ x=0 \\ \\ 2) \2x^2+4x-3ax-6a=0 \\ 2x^2+(4-3a)x-6a=0 \\ D=(4-3a)^2+4*2*6a=16-24a+9a^2+48a=16+24a+9a^2=\\ =(4+3a)^2 \\ \\ \left[ \begin{gathered} x=\frac{3a-4+4+3a}{2*2}=\frac{3a}{2} \\ x=\frac{3a-4-4-3a}{2*2}=-2\end{gathered} \right.$

Получили 3 корня:

$x=0; \ x=-2; \ x=\frac{3a}{2}$

Для выполнения условия задачи нужно, чтобы эти корни были различны, то есть

$\frac{3a}{2}\neq 0 \ \Rightarrow \ a\neq 0 \\ \\ \frac{3a}{2}\neq -2 \ \Rightarrow \ a\neq -\frac{4}{3}$

А также должно выполняться неравенство нашей исходной системы:

$\left\{\begin{matrix}x_1^2+2x_1-3a\geq 0\\ x_2^2+2x_2-3a\geq 0 \\ x_3^2+2x_3-3a\geq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0^2+2*0-3a\geq 0\\(-2)^2+2(-2)-3a\geq 0 \\ \left(\frac{3a}{2}\right) ^2+2*\frac{3a}{2}-3a\geq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-3a\geq 0\\-3a\geq 0 \\\frac{9a^2}{4}\geq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow a\leq 0$

Таким образом: a≤0; a≠0; a≠-4/3 или

$a \in \left(-\infty; \ -\frac{4}{3}\right) \cup \left(-\frac{4}{3}\right;0)$