Question

1. Докажите, что число 17+1717+171717 делится на 17. 2. Числа n и m целые. Докажите, что число m*n*(m+n) четное.

3. Известно, что a и b целые числа и 7a+5b=111 a b. Может ли число a+b быть четным?

Хоть что-то

Answer 1

1. Доказывать, в принципе, и нечего. Каждое из слагаемых суммы 17 + 1717 + 171717 делится на 17 (легко проверить, что 1717 : 17 = 101, 171717 : 17 = 10101), а значит и все сумма делится на 17.

2.  Рассмотрим все возможные случаи.

1) если каждое из чисел n и m четное, то утверждение, очевидно, верно (можно легко проверить: если n = 2k, m = 2l, то mn(m+n) = 2k · 2l · 2(k + l) - очевидно, четное, т.к. имеется множитель-двойка).

2) если одно из чисел n и m - четное, а другое - нечетное, то утверждение вновь верно в силу того же, что и в первом случае. (допустим, n = 2k, m = 2l + 1. Итого mn(m+n) = 2k(2l + 1)(2k + 2l + 1). Сразу виден множитель-двойка, из чего следует, что произведение на 2 делится.

3) если каждое из чисел является нечетным (n = 2k + 1, m = 2l + 1), то имеем: mn(m+n) = (2k + 1)(2l + 1)(2k + 1 + 2l + 1) = (2k + 1)(2l + 1) · 2(k + l + 1). И опять есть двойка. Делаем вывод, что и в этом случае произведение делится на 2.

Утверждение доказано.

3. 7a + 5b = 111ab.

Если подберем такую пару (a, b), что сумма (a + b) будет четной, то ответ будет положительным.

Пара (0, 0) железно удовлетворяет всем условиям: 0 + 0 = 0, сумма (a + b) = 0 + 0 = 0 - четная, т.к. 0 - четное число.

ОТВЕТ: да, может