Question

Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых тринадцати членов к сумме последних тринадцати членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме всех членов, без последних трех равно 4/3. (ответ 20, мне нужно решение)

Answer 1

20

Пошаговое объяснение:

Пусть дана арифметическая прогрессия:

$a_1, \ a_2, \ a_3, ...,\ a_{n-2}, \ a_{n-1}, \ a_n$

Сумма ее n-членов:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n$

Формула n-го члена:

$a_n=a_1+(n-1)d$

По условию:

$1) \ \frac{a_1+a_2+...+a_{13}}{a_{n-12}+a_{n-11}+...+a_n} =\frac{1}{2} \\ \\ \frac{\frac{a_1+a_{13}}{2}*13 }{\frac{a_{n-12}+a_n}{2}*13 } =\frac{1}{2} \\ \\ \frac{a_1+a_{13}}{a_{n-12}+a_n}=\frac{1}{2} \\ \\ 2a_1+2a_{13}=a_{n-12}+a_n \\ \\ 2a_1+2(a_1+12d)=a_1+(n-13)d+a_1+(n-1)d \\ \\ 2a_1+2a_1+24d=a_1+nd-13d+a_1+nd-d \\ \\ 2a_1+38d-2nd=0$

Также по условию:

$2) \ \frac{a_4+a_5+...+a_n}{a_1+a_2+...+a_{n-3}} =\frac{4}{3} \\ \\ \frac{\frac{a_4+a_n}{2}*(n-3) }{\frac{a_1+a_{n-3}}{2}*(n-3) } =\frac{4}{3} \\ \\ \frac{a_4+a_n}{a_1+a_{n-3}}=\frac{4}{3} \\ \\ 3a_4+3a_n=4a_1+4a_{n-3} \\ \\ 3(a_1+3d)+3(a_1+(n-1)d)=4a_1+4(a_1+(n-4)d) \\ \\ 3a_1+9d+3a_1+3nd-3d=4a_1+4a_1+4nd-16d \\ \\ 2a_1+nd-22d=0$

Полученные уравнения запишем в систему:

$\left\{\begin{matrix} 2a_1+nd-22d=0 \\ 2a_1-2nd+38d=0\\ \end{matrix}\right.$

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получится:

3nd-60d=0

3d(n-20)=0

3d=0  или  n-20=0

d=0    или  n=20

Если d=0, тогда n может быть любым натуральным число. Либо n=20.

Проверим d=0:

Поставляем в уравнение 2a₁+nd-22d=0 корень d=0, тогда

2a₁=0 ⇒ a₁=0, тогда

$a_n=a_1+(n-1)d=0+(n-1)*0=0$

И наше первое условие запишется как:

$\frac{a_1+a_2+...+a_{13}}{a_{n-12}+a_{n-11}+...+a_n}=\frac{0+0+..+0}{0+0+..+0}=\frac{0}{0}$

Так как на 0 делить нельзя, значит d=0 нам не подходит и остается ответ с фиксированным значением n=20