Question

Решите два предела, с замены, без использования правила Лопиталя заранее

Answer 1

$x-\frac{\pi }{4}=t$

$x=t+\frac{\pi }{4}$

$x\rightarrow \frac{\pi}{4} ;t\rightarrow 0$

$tgx=tg(t+\frac{\pi}{4})$

$tg2x=tg2(t+\frac{\pi}{4})=tg(2t+\frac{\pi}{2})=-ctg2t$

Обозначим:

$a=\lim_{t \to 0} tg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}$

Логарифмируем:

$lna=ln\lim_{t \to 0} tg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}$

Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами:

$lna=\lim_{t \to 0} lntg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}$

Применяем свойство логарифма степени

$lna=\lim_{t \to 0}(-ctg2x)\cdot lntg(t+\frac{\pi}{4})$

Запишем в виде дроби:

$lna=-\lim_{t \to 0}\frac{ lntg(t+\frac{\pi}{4})}{tg2t}=-\lim_{t \to 0}\frac{2t lntg(t+\frac{\pi}{4})}{(tg2t)2t}=- \lim_{t \to 0}\frac{2t}{tg2t}\cdot\lim_{t \to 0} \frac{ln tg (t+\frac{\pi}{4})}{2t} =\\\\=-1\cdot \lim_{t \to 0} \frac{ln tg (t+\frac{\pi}{4})}{2t} =$

неопределенность (0\0)= ( проще по правилу Лопиталя):

$\lim_{t \to 0} \frac{ln tg (t+\frac{\pi}{4})}{2t} = \lim_{t \to 0}\frac{\frac{1}{tg(t+\frac{\pi}{4})\cdot cos^2(t+\frac{\pi}{4} ) } }{2} =-\frac{1}{4}$

$lna=\lim_{t \to 0} lntg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}=-\frac{1}{4}$

Значит,

$a=\lim_{t \to 0} tg(t+\frac{\pi}{4})^{-ctg2t}=e^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{e}}$