Question

Решите тригонометрическое уравнение

Answer 1

$\displaystyle|cosx+sinx|=\sqrt2sin2x\\(cosx+sinx)^2=2sin^22x\\cos^2x+2sinxcosx+sin^2x=2sin^22x\\1+sin2x=2sin^22x\\2sin^22x-sin2x-1=0\\sin2x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm3}{4}\\sin2x=1;sin2x=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle sin2x=1\\2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z\\x_1=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z\\\\sin2x=-\frac{1}{2}\\2x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_3=\frac{7\pi}{6}+2\pi n;n\in Z\\x_2=-\frac{\pi}{12}+\pi n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3=\frac{7\pi}{12}+\pi n;n\in Z$

Проверяем найденные корни:

$\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+\pi n\\|cos\frac{\pi}{4}+sin\frac{\pi}{4}|=\sqrt{2}sin\frac{\pi}{2}\\|\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}|=\sqrt2\\\sqrt2=\sqrt2$

Тождество соблюдается, корень подходит.

$\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{12}+\pi n\\|cos\frac{\pi}{12}-sin\frac{\pi}{12}|\ne-\sqrt{2}sin\frac{\pi}{6}\\|\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}-\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\|\frac{\sqrt2}{2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2}\ne-\frac{\sqrt2}{2}$

Тождество не соблюдается, данный корень решением не является.

$\displaystyle x_3=\frac{7\pi}{12}+\pi n\\|cos\frac{7\pi}{12}+sin\frac{7\pi}{12}|\ne\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{6}\\|cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})+sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})|\ne\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{6}\\|-sin\frac{\pi}{12}+cos\frac{\pi}{12}|\ne\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{6}\\|-\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\|\frac{\sqrt2}{2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2}\ne-\frac{\sqrt2}{2}$

Тождество не соблюдается, данный корень решением не является.

Общее решение:

$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z$

Решение, которое принадлежит промежутку:

$\displaystyle\frac{5\pi}{4}$