Question

Сума п перших членів послідовності обчислюється за формулою Sn=6n-n^2 . Довести, що ця послідовність є арифметичною прогресією та знайти її шостий член.

Answer 1

Для початку знайдемо суму при n=1,2,3,4:

$S_1=6*1-1^2=5 \\ S_2=6*2-2^2=8 \\ S_3=6*3-3^2=9 \\ S_4=6*4-4^2=8$

$S_1=a_1 \\S_2=a_1+a_2\\S_3=a_1+a_2+a_3\\S_4=a_1+a_2+a_3+a_4\\$

Звідси випливає, що:

$a_1=5 \\a_2=3 \\a_3=1 \\a_4= - 1$

Бачимо, що члени прогресії убувають на одну і ту ж величину. Отже, ця прогресія є арифметичною.

$a_1=5\\d=-2$

Використовуємо формулу знаходження енного члена арифметичної прогресії:

$a_{n+1}=a_n+d$

Або

$a_n=a_1+d(n-1)$

За до другої формули знаходимо шостий член даної прогресії:

$a_6=5-2(6-1)=5-12+2=-5$

Готово!

Answer 2

ответ: $-5$

Поскольку сумма $n$ членов :

$S(n) = 6n-n^2$

То сумма $n-1$ членов:

$S(n-1) =6(n-1) -(n-1)^2 = 6n-6 -n^2+2n-1 = -n^2+8n-7$

Таким образом, $n$ -й член данного ряда вычисляется по формуле:

$a(n) = S(n) -S(n-1) =6n-n^2 +n^2-8n+7= 7-2n =7-2(n-1+1) = \\=5-2(n-1)$

То есть это арифметическая прогрессия с $a_{1}=5$  и $d=-2$

$a_{6} = 5-2(6-1) =-5$

Что и требовалось доказать.