В ряд выписаны квадраты всех натуральных чисел начиная с 1.
Каждое число заменили суммой его цифр.
С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор,
пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) найдите 541 число получившейся последовательности.
б) найдите сумму первых 550 чисел получившейся последовательности.
в) Чему может равняться наибольшая сумма 542 чисел получившейся последовательности,
идущих подряд?
Начнем выполнять эту процедуру
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324
1 4 9 7 7 11 13 10 9 1 4 9 7 7 11 13 10 9
1 4 9 7 7 9 4 1 9 1 4 9 7 7 9 4 1 9
Цикл повторяется и состоит из 9 цифр: (1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9)
а) 541 число - это первое число цикла после 60 прокруток цикла, т.е. 541 число равно 1
ответ: 1
б) S(550) содержит 61 цикл и еще первое число
61*(1+4+9+7+7+9+4+1+9)+1=3112
ответ: 3112
в) cумма 542 чисел обязательно включает 60 циклов, т. е. 60*51=3060 и еще 2 каких-либо подряд идущих числа:
1 и 4 1+4=5 3060+5=3065
4 и 9 4+9=13 3060+13=3073
9 и 7 9+7=16 3060+16=3076
7 и 7 7+7=14 3060+14=3074
7 и 9 7+9=16 3060+16=3076
9 и 4 9+4=13 3060+13=3073
4 и 1 4+1=5 3060+5=3065
1 и 9 1+9=10 3060+10=3070
9 и 1 9+1=10 3060+10=3070
так как некоторые суммы повторяются, то выписываем эти числа без повторений и находим наибольшую
ответ: 3076
а) Тысячное число исходной прогрессии равно а(1000)=а(1)+ d*999=2011+11*999=13000.
Значит искомое число: 1+3=4.
б) Свойство делимости на 9:
1)Число имеет такой же остаток от деления на 9 как и сумма его цифр, деленная на 9.
2) Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9 как остаток от делении суммы остатков этих чисел на 9.
Звучит жутко) Но выглядит так:
a / 9 = b*c + r1
d / 9 = e*f + r2
(a+d) / 9 = m*n + r3
(r1+r2) / 9 = p*q + r3. Так надеюсь понятно.
Вернемся к задаче:
2011 mod9 = 4
11 mod9 = 2
(2+4) mod9 = 6
(6+2) mod9 = 8
(8+2) mod9 = 1
(1+2) mod9 = 3
(3+2) mod9 = 5
(5+2) mod9 = 7
(7+2) mod9 = 0 или (что тоже самое) =9
(9+2) mod9 = 2
(2+2) mod9 = 4
(4+2) mod9 = 6
и так далее.
Значит получившаяся последовательность переодична с периодом. 9:
Сумма первых 9 членов: 2+4+6+8+1+3+5+7+9=45.
Значит сумма 999 членов равна 111*45 = 4995
Сумма первых тысячи равна 4995+4 = 5001
в) для наибольшей суммы нам надо взять 112*45 (это 1008 чисел) + 7 + 9 = 5056.
Выглядит как-то так: 7 + 112*(9+2+4+6+8+1+3+5+7) + 9 = 5056.
Надеюсь из-за позднего времени суток не ошибся и все верно)