. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Высота пирамиды лежит в грани CSD. а) Докажите, что прямые ADи SC перпендикулярны. б) Известно, что AB : BC = 2 корень 3 : 1, высота пирамиды проходит че- рез середину ребра CD, а угол между боковой гранью BSC и плоскостью основания равен 45 . Найдите углы остальных боковых граней с плоскостью основания.
1. Согласно свойству прямоугольника ABCD, противоположные стороны AB и CD параллельны и имеют равные длины. Это означает, что AD и BC также параллельны и имеют равные длины.
2. По определению пирамиды SABCD, боковые грани SAB и SCD являются треугольниками, а ребро SC является высотой пирамиды. Для того чтобы высота пирамиды лежала в плоскости CSD, прямая SC должна быть перпендикулярна плоскости CSD.
3. Из пункта 1 мы знаем, что AD и BC параллельны. Также из пункта 2 мы знаем, что SC перпендикулярна плоскости CSD. Так как прямая AD лежит в плоскости ABCD, которая параллельна плоскости CSD, то AD и SC должны быть перпендикулярны.
б) Чтобы найти углы остальных боковых граней с плоскостью основания, нам нужно использовать данные об отношении сторон прямоугольника ABCD, высоте пирамиды и угле между боковой гранью BSC и плоскостью основания.
1. Известно, что AB : BC = 2√3 : 1. Это означает, что сторона AB вдвое больше стороны BC и √3 раз больше стороны DC. Мы также знаем, что высота пирамиды проходит через середину ребра CD. Поэтому высота пирамиды разделяет ребро CD на две части, каждая из которых равна половине длины ребра CD.
2. Угол между боковой гранью BSC и плоскостью основания равен 45 градусам. Обозначим этот угол как α.
3. Рассмотрим боковую грань SAB. Так как в плоскости прямоугольника ABCD стороны AB и BC параллельны и имеют отношение 2√3 : 1, то треугольник SAB является прямоугольным с прямым углом при вершине A. Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что угол BSA равен 90 - α градусам.
4. Мы также знаем, что прямая AD перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD. То есть, угол DAS также равен 90 градусам.
5. Так как AD и SC перпендикулярны (доказано в пункте а), то угол DAS равен углу SCA.
6. Угол ASD равен сумме углов DAS и SCA, то есть 90 + 90 - α = 180 - α градусов.
7. Так как сумма углов в треугольнике ASD равна 180 градусов, то угол SAD также равен α градусам.
8. Теперь рассмотрим боковую грань SCD. Угол BSC равен 45 градусам (дано в условии). Также из пункта 7 мы знаем, что угол SAD равен α градусов.
9. Сумма углов в треугольнике BSD равна 180 градусов. Поэтому угол BSD равен 180 - 45 - α = 135 - α градусов.
10. Аналогично, рассмотрим боковую грань SBC. Угол BSC равен 45 градусам (дано в условии). Угол SBC равен α градусов (доказано в пункте 7).
11. Сумма углов в треугольнике SBC равна 180 градусов. Значит, угол BCS равен 180 - 45 - α = 135 - α градусов.
Таким образом, углы остальных боковых граней с плоскостью основания равны 135 - α градусов.