1) f(x)=−2x³+xТочки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в x - 2*x^3. Результат: f(0)=0Точка: (0, 0) График пересекает ось X, когда y равняется 0: подставляем 0 = x - 2x³ = x(1 - 2x²). Отсюда имеем 3 точки пересечения с осью Ох: х = 0, х = 1/√2 и х = -1/√2. f = -2*x^3 + xДля того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеf'(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:f'(x)= −6x²+1=0Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1=−1/√6x2=1/√6 Значит, экстремумы в точках: (-0.40825;-0.27217) (0.408248; 0.27217). Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: х = -0.5 -0.40825 -0.3 0.3 0.408248 0.5 y' =-6x^2+1 -0.5 0 0.46 0.46 0 -0.5. Где производная меняет знак с - на + это минимум, а где с + на - это максимум. Минимум функции в точке: x1=−1/√6.
Максимум функции в точке: x2=1/√6.
Убывает на промежутках [-sqrt(6)/6, sqrt(6)/6] Возрастает на промежутках (-oo, -sqrt(6)/6] U [sqrt(6)/6, oo)Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение f''(x)=0(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, f''(x)=−12x=0.Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1=0Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках (-oo, 0] Выпуклая на промежутках [0, oo)Горизонтальные асимптотыГоризонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo limx→−∞(−2x3+x)=∞limx→−∞(−2x3+x)=∞ значит, горизонтальной асимптоты слева не существует limx→∞(−2x3+x)=−∞limx→∞(−2x3+x)=−∞ значит, горизонтальной асимптоты справа не существуетНаклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - 2*x^3, делённой на x при x->+oo и x->-oo limx→−∞(1x(−2x3+x))=−∞limx→−∞(1x(−2x3+x))=−∞ значит, наклонной асимптоты слева не существует limx→∞(1x(−2x3+x))=−∞limx→∞(1x(−2x3+x))=−∞ значит, наклонной асимптоты справа не существуетЧётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x - 2*x³ = -x + 2*x³ - Нет x - 2*x³ = -x - 2*x³ - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
2)Решить систему уравнений: x+y-3z= -1 2x+2y-6z= -2 2x-3y+z=0 4x+4y-12z=-4 2x-3y+z=0 -2x+3y-z=0 4x+3y-2z=5 -4x-3y+ 2z =-5 4x+3y-2z=5 ------------------ --------------- ------------------ 5у -7z = -2 6x - z =5 y -10z =-9
5у -7z = -2 5у -7z = -2 6x=z+5 y = 10z -9 y -10z =-9 -5y+50z = 45 x=(1+5)/6 = 1. y= 10*1-9=1. ---------------- 43z = 43 z = 1. ответ: x = 1, y = 1, z = 1.
Построим три графика на одной координатной плоскости.
Для начала, построим три таблицы, чтобы узнать обозначения координат точек.
Примечание: подставляем число 0 и 1 вместо x и получаем координаты.
1) y = -3x+2 - линейная функция, графиком является прямая.
x | 0 1
y | 2 -1
y₁ = -3*0+2 = 2
y₂ = -3*1+2 = -1
2) y = 1,5x+4 - линейная функция, графиком является прямая.
x | 0 1
y | 4 5,5
y₁ = 1,5*0+4 = 4
y₂ = 1,5*1+4 = 5,5
3) y = 2x - линейная функция, графиком является прямая.
x | 0 1
y | 0 2
y₁ = 2*0 = 0
y₂ = 2*1 = 2
Построение на фотографии. Желаю дальнейших успехов!