Question

Решите уравнение (x-5)^2 +(x-4)^3+(x-3)^4=2

Answer 1

(x-5)^2 +(x-4)^3+(x-3)^4=2

используем формулы сокращенного умножения 

(x-5)^2 -> x^2-10x+25

(x-4)^3 -> x^3-12x^2+48x-64

(x-3)^4 -> x^4-12x^3+54x^2-108x+81

x^4-11x^3+43x^2-70x+42=2

 x^4-11x^3+43x^2-70x+40=0  

Для решения этого уравнения разложим левую часть на множители
воспользуеся методом неопределенных коэффициентов. Имеем :
 x^4 − 11x^3 + 43x^2 − 70x + 40 = ( x^2 + px + q ) ( x^2 + bx + c ) = 
 = x^4 + bx^3 + cx^2 + px^3 + bpx^2 + cpx + qx^2 + bqx + cq = 
 = x^4 + ( b + p ) x^3 + ( c + q + bp ) x^2 + ( cp + bq ) x + cq , 
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим систему уравнений :
{ b + p = − 11
{ c + q + bp = + 43

{ cp + bq = − 70
{ cq = + 40

из последнего уравнения системы следует, что
для c ( как и для q) возможны следующие целые
значения :
±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40,

1)Пусть c = 1, тогда q = 40 В этом случае второе и третье уравнения дают систему :
{ 1 + 40 + bp = + 43
{ 1·p + b·40 = − 70

bp = 2 , p = 2 /b 
это значение p подставим
во второе уравнение
 и получим следующее квадратное уравнение : 40b^2 + 70b + 2 = 0 
найдем его дискриминант : D = 4580 а затем корень из D = 67.675697262755
так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят
2)Пусть c = 2, тогда q = 20 В этом случае второе и третье уравнения дают систему :
{ 2 + 20 + bp = + 43
{ 2·p + b·20 = − 70

bp = 21 , p = 21/b 
это значение p подставим
во второе уравнение
 и получим следующее квадратное уравнение : 20b^2 + 70b + 42 = 0 
найдем его дискриминант : D = 1540 а затем корень из D = 39.242833740697
так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят
3)Пусть c = 4, тогда q = 10 В этом случае второе и третье уравнения дают систему :
{ 4 + 10 + bp = + 43
{ 4·p + b·10 = − 70

bp = 29 , p = 29/b 
это значение p подставим
во второе уравнение
 и получим следующее квадратное уравнение : 10b^2 + 70b + 116 = 0 
найдем его дискриминант : D = 260 а затем корень из D = 16.124515496597
так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят
4)Пусть c = 5, тогда q = 8 В этом случае второе и третье уравнения дают систему :
{ 5 + 8 + bp = + 43
{ 5·p + b·8 = − 70

bp = 30 , p = 30/b 
это значение p подставим
во второе уравнение
 и получим следующее квадратное уравнение : 8b^2 + 70b + 150 = 0 
найдем его дискриминант : D = 100 а затем корень из D = 10
b1 = -3.75 b2 = -5
p1 = -8   p2 = -6 
И так имеем : c = 5 , q = 8 , b = -5 , p = -6
 x^4 − 11x^3 + 43x^2 − 70x + 40 = ( x^2 − 6x + 8) ( x^2 − 5x + 5) = 0 
Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений :
( x^2 − 6x + 8) = 0 и ( x^2 − 5x + 5) = 0 решив которые можно найти корни исходного уравнения 

x1=2                       <- ответ

x2=4                       <- ответ 

x3= (5+\sqrt{5})/2   <- ответ

x4= (5-\sqrt{5})/2   <- ответ