Опустим из B и A1 высоты на AC соответственно в точки B3 и B4 , аналогично построим точки A3 и A4 (рис.). Заметим, что AB1=BA1=p-c , где p — полупериметр треугольника ABC . Таким образом, A3A4=B3B4=(p-c) cosγ . Отрезки A3A4 и B3B4 являются проекциями отрезка A2B2 на прямые AC и BC , но эти отрезки равны, поэтому отрезок A2B2 с ними составляет равные углы. Значит, он либо перпендикулярен биссектрисе угла C , либо параллелен ей. Обозначим ортоцентр треугольника ABC за H . Заметим, что так как B1 лежит на отрезке AC , то A4 лежит на отрезке A3C , а значит B2 лежит на луче HB3 . Аналогично A2 лежит на луче HA3 . Значит, биссектриса угла A3HB3 пересекает отрезок A2B2 . Но эта биссектриса параллельна биссектрисе угла ACB (так как в четырёхугольнике HA3CB3 углы A3 и B3 — прямые). Таким образом, получаем, что A2B2 не параллелен биссектрисе угла C , значит, он ей перпендикулярен, что и требовалось доказать.
Пошаговое объяснение:
KL - средняя линия треугольника ADC, т.к. AK=KD и AL=LC. KL || DC - по св-ву средней линии.
MN - средняя линия треугольника CDB, т.к. DM=MB и BN=NC. MN || DC - по св-ву средней линии.
KL || DC || MN по св-ву параллельных прямых.
KM - средняя линия треугольника ADB, т.к. AK=KD и DM=MB. KM || AB - по св-ву средней линии.
LN - средняя линия треугольника ABC, т.к. AL=LC и CN=NB. LN || AB по св-ву средней линии.
KM || AB || LN по св-ву параллельных прямых.
LKMN - параллелограмм, т.к. KM || LN и KL || MN.