Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: 
Требуется доказать, что 
Предположим противное, то есть что 
По условию 
При этом 
Идем по цепочке дальше. По условию 
, при этом 
. Продолжая этот процесс, получаем 
Суммируя, получаем 
Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.
Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок) лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.
Кышкы урман охшаган заколдованное царство Снежной королевасы. Монда тора тынлык. Пушистый белоснежный покров устилает җирне. Ул шулай ук наброшен бу агач ботаклары кебек тун кимибез.
Тоела, әйтерсең агачлар кышкы урманда одели әкияти киемнәрен. Барлык тирәсендә украшено слепящим кар, ачыктан-ачык бозлы һәм серебристым инеем. Урманы бай хрупких кышкы кибетеннен.
Бары ботаклары замерзших агач кайчагында скрипят һәм трещат нче бабай. Әйе похрустывание кар аяк астында боза тынлыкны боза торган вакытында йөрүнең буенча кышкы урманда. Тик, гомумђн алганда, кышын монда бик авыр үтәргә. Була провалиться бу сугроб тездән, ягъни буенча пояс.
Кайчан барасың кышкы урман, калса, урманда юк, бердәм тере җан. Әйтерсең барлык кош-корт, җәнлекләр һәм бөҗәкләр покинули бу крае эзләп җылылык яки залегли бу спячку. Хәтта вороны подались шәһәргә кормиться якын кешеләр. Әмма шул ук вакытта заяц-беляк, невидимый кар өстендә йоклау, эшләрегезне тикшереп күзәтүче өчен путешественниками. Тормыш кышкы урманда затихает, әмма туктап кала