1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.
2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:
AF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;
BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;
CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.
Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:
AK=BF=CD.
Если a — сторона треугольника, то
3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:
AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.
5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан
до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:
6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:
7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.
8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
R=2r.
- Пусть приходит сама Афина-Паллада состязаться со мной! Не победить ей меня; не боюсь я этого. И вот под видом седой, сгорбленной старухи, опершейся на посох, предстала перед Арахной богиня Афина и сказала ей:
- Не одно зло несет с собой, Арахна, старость: годы несут с собой опыт. Послушайся моего совета: стремись превзойти лишь смертных своим искусством. Не вызывай богиню на состязание. Смиренно моли ее простить тебя за надменные слова, Молящих прощает богиня. Арахна выпустила из рук тонкую пряжу; гневом сверк- нули ее очи. Уверенная в своем искусстве, смело ответила она:
- Ты неразумна, старуха, старость лишила тебя разума. Читай такие наставления твоим невесткам и дочерям, меня же оставь в покое. Я сумею и сама дать себе совет. Что я сказала, то пусть и будет. Что же не идет Афина, отчего не хочет она состязаться со мной?
- Я здесь, Арахна! - воскликнула богиня, приняв свой настоящий образ.
Нимфы и лидийские женщины низко склонились пред любимой дочерью Зевса и славили ее. Одна лишь Арахна молчала. Подобно тому как алым светом загорается ранним утром небосклон, когда взлетает на небо на своих сверкающих крыльях розоперстая Заря-Эос, так зарделось краской гнева лицо Афины. Стоит на своем решении Арахна, по-прежнему страстно желает она состязаться с Афиной. Она не предчувствует, что грозит ей скорая гибель. Началось состязание. Великая богиня Афина выткала на своем покрывале посередине величественный афинский Акрополь, а на нем изобразила свой спор с Посейдоном за власть над Аттикой. Двенадцать светлых богов Олимпа, а среди них отец ее, Зевс-громовержец, сидят как судьи в этом споре. Поднял колебатель земли Посейдон свой трезубец, ударил им в скалу, и хлынул соленый источник из бесплодной скалы. А Афина в шлеме, с щитом и в эгиде потрясла своим копьем и глубоко вонзила его в землю. Из земли выросла священная олива. Боги присудили победу Афине, признав ее дар Аттике за более ценный. По углам изобразила богиня, как карают боги людей за непокорность, а вокруг выткала венок из листьев оливы. Арахна же изобразила на своем покрывале много сцен из жизни богов, в которых боги являются слабыми, одержимыми человеческими страстями. Кругом же выткала Арахна венок из цветов, перевитых плющом. Верхом совершенства была работа Арахны, она не уступала по красоте работе Афины, но в изображениях ее видно было неуважение к богам, даже презрение. Страшно разгневалась Афина, она разорвала работу Арахны и ударила ее челноком. Несчастная Арахна не перенесла позора; она свила веревку, сделала петлю и повесилась. Афина освободила из петли Арахну и сказала ей:
- Живи, непокорная. Но ты будешь вечно висеть и веч но ткать, и будет длиться это наказанье и в твоем потомстве.
Афина окропила Арахну соком волшебной травы, и тотчас тело ее сжалось, густые волосы упали с головы,и обратилась она в паука. С той поры висит паук-Арахна в своей паутине и вечно ткет ее, как ткала при жизни.