Задача 1. На доске написаны два числа: 1,1. Вписав между числами их сумму, мы получим числа 1, 2, 1. Повторив эту операцию еще раз, получим числа 1, 3, 2, 3, 1. После трех операций будут числа 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Какова будет сумма всех чисел на доске после 100 операций?
Первые два числа на доске - 1 и 1. Мы вписываем между ними их сумму, получаем последовательность 1, 2, 1.
Далее повторяем операцию еще раз. На данном этапе у нас уже есть последовательность 1, 2, 1. Вписываем сумму между каждыми двумя числами и получаем 1, 3, 2, 3, 1.
Повторяем операцию еще раз. Теперь у нас уже есть последовательность 1, 3, 2, 3, 1. Вписываем сумму между каждыми двумя числами и получаем 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1.
Теперь мы видим, что на каждом шаге получаем новую последовательность, в которой числа расположены симметрично относительно центра. То есть, если разделить последовательность пополам, то левая половина чисел будет симметрична правой половине.
Теперь давайте посмотрим на количество чисел в каждой последовательности после каждого шага:
- После 1 операции у нас 3 числа.
- После 2 операции у нас 5 чисел.
- После 3 операции у нас 9 чисел.
- После 4 операции у нас 17 чисел.
Мы видим, что количество чисел увеличивается в геометрической прогрессии. Формулу для нахождения количества чисел на n-ом шаге можно записать следующим образом: 2^(n-1) + 1.
Теперь давайте посчитаем сумму всех чисел на доске после 100 операций. Мы знаем количество чисел после каждого шага и число на каждом шаге однозначно определено.
Для 1 операции у нас 3 числа. Сумма этих чисел равна 1 + 2 + 1 = 4.
Для 2 операции у нас 5 чисел. Сумма этих чисел равна 1 + 3 + 2 + 3 + 1 = 10.
Для 3 операции у нас 9 чисел. Сумма этих чисел равна 1 + 4 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 4 + 1 = 28.
Но у нас были еще несколько предыдущих шагов, которые мы не учитывали. Для каждого предыдущего шага сумма чисел на нем равна сумме чисел на следующем шаге, умноженной на 2 и вычтенной 1. То есть, для 0-го шага сумма чисел равна (4 - 1) / 2 = 1, для -1-го шага сумма чисел равна (1 - 1) / 2 = 0.
Теперь давайте посчитаем сумму всех чисел на доске после 100 операций.
Для 100 операции у нас 2^99 + 1 чисел. Сумма этих чисел будет равна:
(2^99 + 1) * 2 - 1 = 2^100 - 1.
Ответ: Сумма всех чисел на доске после 100 операций равна 2^100 - 1.
Пожалуйста, обращайтесь, если у вас возникнут еще вопросы!