Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. где .A(2;1;2),B(0;4;2),C(0;1;8) D(2;4;10) Требуется:
1) записать векторы векторов; AB,AC,AD в системе ортi , j ,k и найти длины этих векторов.
2) найти угол между векторами AD,AC ;
3) найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
4) найти площадь грани АВС;
5) найти объем пирамиды АВСD;
6) составить уравнение ребра АС;
7) составить уравнение грани АВС.

Answer 1

√Даны координаты вершин пирамиды ABCD:

A(2;1;2),B(0;4;2),C(0;1;8) D(2;4;10)

Требуется:

1) записать векторы векторов; AB,AC,AD в системе ортi , j ,k и найти длины этих векторов.

x y z Квадрат Длина ребра

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -2 3 0 13 3,605551275

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -2 0 6 40 6,32455532

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0 3 8 73 8,544003745

Координаты в системе i , j ,k соответствуют координатам векторов по осям x y z.

2) найти угол между векторами AD,AC ;

cos(AD_AC) = ((-2*0 + 0*3 + 6*8)/(√40*√73) = 48/√2920 = 0,88828.

Угол равен 0,477209958  радиан или 27,34211651  градуса.

3) найти проекцию вектора AD на вектор AB ;

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · (-2) + 3 · 3 + 8 · 0 = 0 + 9 + 0 = 9

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx^2 + by^2 + bz^2) = √((-2)^2 + 3^2 + 0^2) = √(4 + 9 + 0) = √13

Пр ba =  9/√13 =   9√13 /13   ≈  2.49615088.

4) найти площадь грани АВС;

Находим произведение векторов

ABC [AB ; AC]= 18 12 6

Площадь  = Модуль/2 = 11,22497216 .

5) найти объем пирамиды АВСD;

Находим по смешанному произведению векторов AB, AC AD.

          x    y    z  

AB x AC 18    12     6  

       AD  0    3     8  

Произвед = 0 36 48 = 84

V = (1/6) * 84 = 14.  

6) составить уравнение ребра АС;

Уравнение AC  x - 2  = y - 1   = z - 2

                             -2      0       6  

7) составить уравнение грани АВС.

Составляем по координатам трёх точек.

15 x + 24 y + -12 z + -105 = 0 .

Или, сократив на 3:

5 x + 8 y + -4 z + -35 = 0 .