Question

Выполните деление многочленов с остатком.
x^7-1 на x^2+x+1

Answer 1

Для выполнения деления многочленов с остатком, следуем следующим шагам:

1. Расположите многочлены в виде, где делимое (x^7-1) стоит сверху, а делитель (x^2+x+1) - снизу:
_______________________
x^2+x+1 | x^7 + 0*x^6 + 0*x^5 + 0*x^4 + 0*x^3 + 0*x^2 + 0*x - 1

2. Проверьте, является ли старший коэффициент делителя единицей (в данном случае это выполняется, так как старший коэффициент делителя равен 1).

3. Поделите старший член делимого на старший член делителя, чтобы определить первый член частного:
x^7 / x^2 = x^5

4. Умножьте полученный первый член частного на делитель и напишите его под делимым многочленом:
(x^2 + x + 1) * (x^5) = x^7 + x^6 + x^5

5. Вычтите полученный результат из исходного делимого:
(x^7 + 0*x^6 + 0*x^5 + 0*x^4 + 0*x^3 + 0*x^2 + 0*x - 1) - (x^7 + x^6 + x^5) = -x^6 - x^5 - 1

6. Проверьте, является ли старший коэффициент оставшегося многочлена отрицательным (в данном случае это выполняется, так как старший коэффициент -1).

7. Поделите старший член оставшегося многочлена на старший член делителя, чтобы определить следующий член частного:
-x^6 / x^2 = -x^4

8. Умножьте полученный следующий член частного на делитель и напишите его под оставшимся многочленом:
(x^2 + x + 1) * (-x^4) = -x^6 - x^5 - x^4

9. Вычтите полученный результат из оставшегося многочлена:
(-x^6 - x^5 - 1) - (-x^6 - x^5 - x^4) = x^4 - 1

10. Повторяйте предыдущие шаги до тех пор, пока старший коэффициент оставшегося многочлена не станет меньше старшего коэффициента делителя.

11. В итоге получите частное и остаток от деления:
Частное: x^5 - x^4
Остаток: x^4 - 1