Возводить в натуральную степень n, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число z=a+bi задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.
Пусть число z=|z|(cosϕ+isinϕ), тогда умножая его само на себя n раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень n), получим:
zn=(|z|(cosϕ+isinϕ))n=|z|n(cosnϕ+isinnϕ)
Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.
Если |z|=1, то получаем, что
zn=(cosϕ+isinϕ)n=cosnϕ+isinnϕ
Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).
Пример
Задание. Найти z20, если z=12+3√2i
Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:
|z|=∣∣12+3√2i∣∣=(12)2+(3√2)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=14+34‾‾‾‾‾‾√=44‾‾√=1
argz=arg(12+3√2i)=arctg3√212=arctg3‾√=π3
Тогда
z=1⋅(cosπ3+isinπ3)=cosπ3+isinπ3
А отсюда, согласно формуле, имеем:
z20=(cosπ3+isinπ3)20=cos(20⋅π3)+isin(20⋅π3)=
=cos20π3+isin20π3=cos21π−π3+isin21π−π3=
=cos(7π−π3)+isin(7π−π3)=cos(π−π3)+isin(π−π3)=
=−cosπ3+isinπ3=−12+i⋅3√2=−12+3√2i
ответ. z20=−12+3√2i
Читать дальше: извлечения корня из комплексного числа.
Слишком сложно?
Возведение комплексного числа в натуральную степень не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Опиши задание
Пошаговое объяснение:
Мегалитические сооружения, такие как ряды менгиров, дольмены, каменные круги и
т. п., имеют чѐткую астрономическую ориентировку. Зодчие мегалитов, возводившие их в конце неолита – начале бронзового века, ориентировали свои сооружения таким образом, что их
главные оси направлены на точки восхода Солнца в дни равноденствий или солнцестояний.
Традиционно историки и археологи объясняют этот факт тем, что древние жрецы-астрономы
использовали мегалитические «обсерватории» для фиксации определѐнных моментов года,
чтобы объявлять сроки сельскохозяйственных работ (начала сева, сбора урожая и т. п.). Но ведь
эти сроки можно было определять намного меньшими усилиями. Если среди мегалитов и
встречаются отдельные обсерватории, то их назначение несколько иное — определение более
тонких эффектов, нежели сроки сельхозработ. Сейчас появляется все больше доказательств того, что живая природа существует скорее по месячно-солнечному календарю, чем по солнечному, каким руководствуется современная западная цивилизация.
Для наблюдений за движением Солнца в течение года совсем не обязательно было сооружать мегалитический круг из каменных монолитов массой в десятки, а то и сотни
тонн. Достаточную точность наблюдений могло обеспечить сооружение из намного более лѐгких каменных или даже деревянных столбов