Question

Необходимо решить пределы.

Answer 1

$7.2. ~ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1} \right)^{2x-3} = \{1^{\infty}\}=\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{x}{x+1}-1 \right)^{2x-3}=\\\\= \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{-1}{x+1} \right)^{2x-3} = \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+ \frac{1}{-(x+1)} \right)^{-(x+1)}\right)^{\tfrac{2x-3}{-(x+1)} } = \\\\ = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(-\tfrac{2x-3}{x+1}\right)} \rightarrow$

$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{2x-3}{x+1} \right) = \left|\begin{array}{ccc}2x - 3 \sim 2x\\x + 1 \sim x\\x \to \infty\end{array}\right| = -\lim_{x\to \infty}\frac{2x}{x} = -2 \rightarrow$

$\rightarrow e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(-\tfrac{2x-3}{x+1}\right)} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^{2}}$

ответ: $\dfrac{1}{e^{2}}$

$8.2. ~ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+1}{x-1} \right)^{x}=\{1^{\infty}\}=\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{2x+1}{x-1}-1 \right)^{x}=\\\\= \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{x+2}{x-1} \right)^{x} = \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+ \frac{1}{~\dfrac{x-1}{x+2} ~} \right)^{\tfrac{x-1}{x+2}}\right)^{\tfrac{x(x+2)}{x-1} } = \\\\ = e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty}\tfrac{x(x+2)}{x-1}} \rightarrow$

$\rightarrow \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x(x+2)}{x-1} =\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2} + 2x}{x-1} = \left|\begin{array}{ccc}x^{2}+2x \sim x^{2}\\x-1 \sim x\\x\to \infty\end{array}\right| = \lim_{x \to \infty}\frac{x^{2}}{x}=\\\\= \lim_{x\to \infty}x = \infty \rightarrow$

$\rightarrow e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty}\tfrac{x(x+2)}{x-1}} = e^{\infty} = \infty$

ответ: $\infty$

Примечание. В заданиях 7.2 и 8.2 воспользуйтесь вторым замечательным пределом:

$\boxed{\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} = e}$ или $\boxed{\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\tfrac{1}{x} } = e}$

А также следует воспользоваться эквивалентными бесконечно большими:

$P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n} \sim a_{0}x^{n}$ при $x \to \infty, ~ a_{0} \neq 0$

$9.2 ~ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{5x} = \lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 3x}{5x} - \frac{\sin x}{5x} \right) =\\\\= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{5x} - \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{5x} = \left|\begin{array}{ccc}\sin 3x \sim 3x\\\sin x \sim x\\x \to 0\end{array}\right| = \lim_{x\to 0} \frac{3x}{5x} - \lim_{x\to 0}\frac{x}{5x}=\\\\= \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0,4$

ответ: $0,4$

Примечание. В задании 9.2 воспользуйтесь первым замечательным пределом:

$\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 }$

Граница суммы: $\displaystyle \lim_{x \to a} \left(f(x) \pm g(x) \right) = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)$

А также воспользуйтесь эквивалентными бесконечно малыми:

$x \sim \sin x \sim \text{tg}\, x \sim \arcsin x \sim \text{arctg}\, x \sim \ln(1+x) \sim e^{x}-1, ~ x\to 0$