1) У выпуклого многогранника 6 вершин и 5 граней. Сколько у него ребер? А) 5; В) 7; С) 9; Д) 12. [1]
2) Сколько граней и ребер имеет призма, у которой 60 вершин?
Поясните ответ. [1]
3) Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 дм и 5 дм,
острый угол равен 600. Найдите высоту параллелепипеда, если его большая
диагональ равна 25 дм. [3]
4) Стороны основания и диагональ прямоугольного параллелепипеда
равны 8 см, 9 см и 17 см. Чему равна площадь диагонального сечения
этого параллелепипеда? [3]
5) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 14 см,
а сторона основания 16 см. Найдите боковое ребро пирамиды и
длину апофемы боковой грани. [4]
Число ребер = Число вершин + Число граней - 2
В данном случае, у многогранника 6 вершин и 5 граней. Подставим значения в формулу:
Число ребер = 6 + 5 - 2 = 9
Ответ: С) 9 ребер.
2) У призмы каждая из вершин имеет по две ребра. Так как у каждого ребра есть две вершины, то общее число ребер можно найти, умножив число вершин на 2 и разделив на 2, чтобы учесть каждое ребро только один раз.
В данном случае, у призмы 60 вершин. Подставим значение в формулу:
Число ребер = (60 * 2) / 2 = 60
Ответ: призма имеет 60 ребер.
Число граней в призме можно найти, используя формулу Эйлера, подставив значения:
Число граней = Число вершин + Число ребер - 2 = 60 + 60 - 2 = 118
Ответ: призма имеет 118 граней.
3) У прямого параллелепипеда две основания - прямоугольные треугольники, а его высота соответствует боковой стороне. Поэтому для нахождения высоты параллелепипеда нам нужно найти длину боковой стороны параллелепипеда.
Для нахождения боковой стороны параллелепипеда можно использовать теорему Пифагора, так как у нас есть две стороны треугольника: 3 дм и 5 дм, а гипотенуза равна 25 дм.
Пусть x - боковая сторона параллелепипеда. Тогда по теореме Пифагора:
x^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34
x = √34
Таким образом, боковая сторона параллелепипеда равна √34 дм.
Высота параллелепипеда равна длине его боковой стороны, поэтому высота равна √34 дм.
Ответ: высота параллелепипеда равна √34 дм.
4) Для нахождения площади диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда нужно найти площадь прямоугольника, образованного диагональю основания и высотой параллелепипеда.
По теореме Пифагора, диагональ основания равна:
d = √(8^2 + 9^2) = √(64 + 81) = √145 см
Площадь диагонального сечения равна произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда:
Площадь сечения = √145 * 17 см = 17√145 см^2
Ответ: площадь диагонального сечения равна 17√145 см^2.
5) Для нахождения бокового ребра пирамиды можно использовать теорему Пифагора, так как у нас есть высота пирамиды (14 см) и сторона основания пирамиды (16 см).
Пусть a - длина бокового ребра пирамиды. Тогда по теореме Пифагора:
a^2 = (16/2)^2 + 14^2 = 8^2 + 14^2 = 64 + 196 = 260
a = √260
Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна √260 см.
Апофема боковой грани пирамиды - это отрезок, соединяющий вершину пирамиды с серединой боковой грани. Апофема является высотой прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине стороны основания (8 см), а гипотенуза равна длине бокового ребра.
По теореме Пифагора:
a^2 = (8/2)^2 + h^2
√260^2 = 4^2 + h^2
260 = 16 + h^2
h^2 = 260 - 16
h^2 = 244
h = √244
Таким образом, длина апофемы боковой грани пирамиды равна √244 см.
Ответ: боковое ребро пирамиды равно √260 см, а длина апофемы боковой грани равна √244 см.