Обозначим n ~ m, если последние цифры чисел n и m совпадают, т.е. числа n и m эквивалентны по модулю 10.
N = 12^2003 + 26^2003 + 38^2003 ~ 2^2003 + 6^2003 + 8^2003 = 2^2003 + (2^2003)(3^2003) + (2^2003)(2^2003)(2^2003) = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003))
Составим таблицу 2^n:
n Значение Последняя цифра
0 2^0 = 1 1
1 2^1 = 2 2
2 2^2 = 4 4
3 2^3 = 8 8
4 2^4 = 16 6
5 2^5 = 32 2
6 2^6 = 64 4
7 2^7 = 128 8
8 2^8 = 256 6
...
Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная со 2-й строки. Период равен 4.
Последняя цифра числа 2^n равна:
1: n = 0
4: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...
8: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...
6: n = 4k, где k = 1,2,3,...
Отсюда находим, что 2^2003 = (2^2000)*(2^3) = (2^(500*4))*(2^3) ~ 6*8 = 48 ~ 8
Составим таблицу 3^n:
n Значение Последняя цифра
0 3^0 = 1 1
1 3^1 = 3 3
2 3^2 = 9 9
3 3^3 = 27 7
4 3^4 = 81 1
5 3^5 = 243 3
6 3^6 = 729 9
7 3^7 = 2187 7
8 3^8 = 6561 1
...
Из таблицы видна периодичность степеней 2, начиная с 1-й строки. Период равен 4.
Последняя цифра числа 3^n равна:
1: n = 4k, где k = 0,1,2,3,...
3: n = 4k + 1, где k = 0,1,2,3,...
9: n = 4k + 2, где k = 0,1,2,3,...
7: n = 4k + 3, где k = 0,1,2,3,...
Находим, что 3^2003 = (3^2000)*(3^3) = (3^(500*4))*(3^3) ~ 1*7 = 7
Итак, N = 2^2003(1 + 3^2003 + (2^2003)(2^2003)) ~ 8(1 + 7 + 8*8) = 8 + 8*7 + 8*8*8 = 8 + 56 + 512 ~ 8 + 6 + 2 = 16 ~ 6
ответ: последней цифрой нашего числа будет 6.
Замечание: Разница между предложенным Вами и моим вариантом заключается в том, что я не исследовал степени чисел 12, 26 и 38 либо чисел 2, 6 и 8. Я рассматривал только степени чисел 2 и 3, что, как мне кажется, значительно проще.
Объяснение:
Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю. Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.
Как происходит деление с остатком:
Деление с остатком происходит так ты делишь данное число и потом получаешь ответ ответ ты умножаешь на второе делимое . Когда ты умножил ответ на второе делимое и получил ответ ты должен от перового делимого отнять ответ который ты получил при умножении делимого на первоначальный ответ