Question

Найдите корни симметрического многочлена
6)x⁵+2x³+2x²+1​
С Обьяснением

Answer 1

-1

Пошаговое объяснение:

все на фото..........

Answer 2

$\displaystyle x=-1\\x=\frac14(1-i\sqrt3-\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1-i\sqrt3+\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3-\sqrt{2(-9+i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3+\sqrt{2(-9+i\sqrt3})$

Пошаговое объяснение:

$x^5+2x^3+2x^2+1$

Подставим вместо х -1. Тогда получим

$(-1)^5+2(-1)^3+2(-1)^2+1=-1-2+2+1=0$

Тогда х = -1 корень данного многочлена. Тогда этот многочлен можно представить в виде $(x+1)Q^4(x)$, где Q - многочлен 4 степени. Найдём Q

Так как многочлен симметричный, то и Q будет симметричным. (это верно потому, что при раскрытии скобок данный многочлен будет иметь одинаковые коэффициенты везде, где у исходного были одинаковые коэффициенты)

$Q(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1$ (симметричный многочлен)

Умножим его на (x+1) и найдем a и b

$a=-1\\b=3$

Тогда

$Q(x)=x^4-x^3+3x^2-x+1$

Тогда, чтобы найти корни многочлена $x^5+2x^3+2x^2+1$ нужно найти корни $(x-1)(x^4-x^3+3x^2-x+1)$, т.е. решить уравнение

$(x-1)(x^4-x^3+3x^2-x+1)=0$

Тогда или х = - 1 или $x^4-x^3+3x^2-x+1=0$

Решим это уравнение

$x^4-x^3+3x^2-x+1=0$

так как х=0 не корень, то мы можем поделить на x² обе части уравнения

$\displaystyle x^2-x+3-\frac1x+\frac1{x^2}=0$

Тогда сделаем замену

$\displaystyle t=x+\frac1x$

Тогда

$t^2-2=\displaystyle (x+\frac1x)^2-2=x^2+2+\frac1{x^2}-2=x^2+\frac1{x^2}$

Преобразуем исходный многочлен

$\displaystyle x^2-x+3-\frac1x+\frac1{x^2}=0\\(x^2+\frac1{x^2})-(x+\frac1x)+3=0\\(t^2-2)-t+3=0\\t^2-t+1=0\\t=\frac{1\pm\sqrt{1-4*1*1}}{2}\\t=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\\t=\frac12\pm i\frac12\sqrt3$

Тогда сделаем обратную замену и решим для всех вариантов для t

$\displaystyle t=\frac12\pm i\frac12\sqrt3\\x+\frac1x=\frac12\pm i\frac12\sqrt3\\x^2+1=(\frac12\pm i\frac12\sqrt3)x\\x^2-(\frac12\pm i\frac12\sqrt3)x+1=0\\x=\frac{(\frac12\pm i\frac12\sqrt3)\pm\sqrt{(\frac12\pm i\frac12\sqrt3)^2-4*1*1}}{2}\\$

Тогда есть 2 варианта:

1)

 $\displaystyle x=\frac14\pm i\frac14\sqrt3\pm\sqrt{\frac{-\frac121-\frac12i\sqrt3}{4}-1}$

2)

$\displaystyle x=\frac14\pm i\frac14\sqrt3\pm\sqrt{\frac{-\frac121+\frac12i\sqrt3}{4}-1}$

Тогда корни нашего исходного многочлена это

$\displaystyle x=-1\\x=\frac14(1-i\sqrt3-\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1-i\sqrt3+\sqrt{2(-9-i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3-\sqrt{2(-9+i\sqrt3})\\x=\frac14(1+i\sqrt3+\sqrt{2(-9+i\sqrt3})$