Question

Можете хотя-бы попытаться хоть если будет и не правильно по благодарю ​

Answer 1

вот что у меня получилось

Answer 2

Пошаговое объяснение:

${\displaystyle\int}\sqrt{\dfrac{1-\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}}\,\mathrm{d}x$ =$={\displaystyle\int}\dfrac{\sqrt{1-\mathrm{e}^x}}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\,\mathrm{d}x$

подстановка

$u=\dfrac{\mathrm{e}^x+1}{1-\mathrm{e}^x}$  

$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x+1\right)}{\left(1-\mathrm{e}^x\right)^2}+\dfrac{\mathrm{e}^x}{1-\mathrm{e}^x}$

$\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x+1\right)}{\left(1-\mathrm{e}^x\right)^2}+\frac{\mathrm{e}^x}{1-\mathrm{e}^x}}\,\mathrm{d}u$

$\mathrm{e}^x=\dfrac{2}{-u-1}+1$

$=2{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(u-1\right)\sqrt{u}\left(u+1\right)}\,\mathrm{d}u$

ещё замена

$v=\sqrt{u}$

$\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}$

$u=v^2\\\mathrm{d}u=2\sqrt{u}\,\mathrm{d}v$

$={2}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(v^2-1\right)\left(v^2+1\right)}\,\mathrm{d}v$$=2{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(v-1\right)\left(v+1\right)\left(v^2+1\right)}\,\mathrm{d}v=$

разложим на дроби

$=2{\displaystyle\int}\left(-\dfrac{1}{2\left(v^2+1\right)}-\dfrac{1}{4\left(v+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(v-1\right)}\right)\mathrm{d}v$

Получили табличные интегралы

$=2(-\dfrac{\ln\left(v+1\right)}{4}-\dfrac{\arctan\left(v\right)}{2}+\dfrac{\ln\left(v-1\right)}{4})$$=-\dfrac{\ln\left(v+1\right)}{2}-\arctan\left(v\right)+\dfrac{\ln\left(v-1\right)}{2}$

обратная замена

$v=\sqrt{u} \\$

$v=\sqrt{\dfrac{\mathrm{e}^x+1}{1-\mathrm{e}^x}$

$=\ln\left(\left|\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^x}}-1\right|\right)-\ln\left(\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^x}}+1\right)-2\arctan\left(\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^x}}\right)+C$