Хорошо! Для начала разберемся, что такое симметрический многочлен и элементарный симметрический многочлен.
Симметрический многочлен от двух переменных x и y - это многочлен, в котором переменные x и y могут быть переставлены без изменения самого многочлена. То есть, если мы заменим x на y и y на x, то многочлен останется таким же.
Элементарные симметрические многочлены - это многочлены, которые строятся на основе корней уравнения. Для нашего уравнения -2x^2+7xy-2y^2=0, рассмотрим его корни:
-2x^2+7xy-2y^2=0
По теореме Виета, сумма корней данного многочлена равна отношению коэффициента при x в выражении (-7y) к коэффициенту при x^2, то есть x1 + x2 = -7y/-2 = 7y/2.
Произведение корней равно отношению свободного члена (константы) в уравнении к коэффициенту при x^2, то есть x1 * x2 = -2y^2/-2 = y^2.
Теперь зная сумму корней (7y/2) и их произведение (y^2), мы можем записать элементарные симметрические многочлены.
Первый элементарный симметрический многочлен S1 равен сумме корней, то есть S1 = x1 + x2 = 7y/2.
Второй элементарный симметрический многочлен S2 равен произведению корней, то есть S2 = x1 * x2 = y^2.
Теперь мы можем выразить симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены.
Для нашего уравнения -2x^2+7xy-2y^2=0, мы можем записать его в виде:
(x + y)(-2x + y) = 0
Теперь давайте разложим это уравнение на множители:
x + y = 0 или -2x + y = 0
Для первого случая x + y = 0, мы можем записать симметрический многочлен как:
x + y = 0 => x = -y
Теперь подставим x = -y в элементарные симметрические многочлены:
S1 = x1 + x2 = (-y) + (-y) = -2y
S2 = x1 * x2 = (-y) * (-y) = y^2
То есть, симметрический многочлен при x + y = 0 равен -2y + y^2.
Для второго случая -2x + y = 0, мы можем записать симметрический многочлен как:
-2x + y = 0 => y = 2x
Теперь подставим y = 2x в элементарные симметрические многочлены:
S1 = x1 + x2 = x + 2x = 3x
S2 = x1 * x2 = x * 2x = 2x^2
То есть, симметрический многочлен при -2x + y = 0 равен 2x^2 + 3x.
Итак, мы выразили симметрическое уравнение -2x^2+7xy-2y^2=0 через элементарные симметрические многочлены. При x + y = 0 он равен -2y + y^2, а при -2x + y = 0 он равен 2x^2 + 3x.
Симметрический многочлен от двух переменных x и y - это многочлен, в котором переменные x и y могут быть переставлены без изменения самого многочлена. То есть, если мы заменим x на y и y на x, то многочлен останется таким же.
Элементарные симметрические многочлены - это многочлены, которые строятся на основе корней уравнения. Для нашего уравнения -2x^2+7xy-2y^2=0, рассмотрим его корни:
-2x^2+7xy-2y^2=0
По теореме Виета, сумма корней данного многочлена равна отношению коэффициента при x в выражении (-7y) к коэффициенту при x^2, то есть x1 + x2 = -7y/-2 = 7y/2.
Произведение корней равно отношению свободного члена (константы) в уравнении к коэффициенту при x^2, то есть x1 * x2 = -2y^2/-2 = y^2.
Теперь зная сумму корней (7y/2) и их произведение (y^2), мы можем записать элементарные симметрические многочлены.
Первый элементарный симметрический многочлен S1 равен сумме корней, то есть S1 = x1 + x2 = 7y/2.
Второй элементарный симметрический многочлен S2 равен произведению корней, то есть S2 = x1 * x2 = y^2.
Теперь мы можем выразить симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены.
Для нашего уравнения -2x^2+7xy-2y^2=0, мы можем записать его в виде:
(x + y)(-2x + y) = 0
Теперь давайте разложим это уравнение на множители:
x + y = 0 или -2x + y = 0
Для первого случая x + y = 0, мы можем записать симметрический многочлен как:
x + y = 0 => x = -y
Теперь подставим x = -y в элементарные симметрические многочлены:
S1 = x1 + x2 = (-y) + (-y) = -2y
S2 = x1 * x2 = (-y) * (-y) = y^2
То есть, симметрический многочлен при x + y = 0 равен -2y + y^2.
Для второго случая -2x + y = 0, мы можем записать симметрический многочлен как:
-2x + y = 0 => y = 2x
Теперь подставим y = 2x в элементарные симметрические многочлены:
S1 = x1 + x2 = x + 2x = 3x
S2 = x1 * x2 = x * 2x = 2x^2
То есть, симметрический многочлен при -2x + y = 0 равен 2x^2 + 3x.
Итак, мы выразили симметрическое уравнение -2x^2+7xy-2y^2=0 через элементарные симметрические многочлены. При x + y = 0 он равен -2y + y^2, а при -2x + y = 0 он равен 2x^2 + 3x.