Question

Имеется многочлен x(1-x)^10+x^2(1-2x)^20+x^3(1-3x)^30. Определите коэффициент при члене, содержащем x^4 , если выполнить все действия.

Answer 1

я не могу понять эту фигню

Answer 2

Для начала давайте раскроем каждую скобку в многочлене, чтобы сократить выражение и упростить дальнейшие вычисления:
(1-x)^10 = (1^10 - 10x + 45x^2 - 120x^3 + 210x^4 - 252x^5 + 210x^6 - 120x^7 + 45x^8 - 10x^9 + x^10)
(1-2x)^20 = (1^20 - 20(2x) + 190(2x)^2 - 1140(2x)^3 + 4845(2x)^4 - 15504(2x)^5 + 38760(2x)^6 - 77520(2x)^7 + 125970(2x)^8 - 167960(2x)^9 + 184756(2x)^10 - 167960(2x)^11 + 125970(2x)^12 - 77520(2x)^13 + 38760(2x)^14 - 15504(2x)^15 + 4845(2x)^16 - 1140(2x)^17 + 190(2x)^18 - 20(2x)^19 + (2x)^20)
(1-3x)^30 = (1^30 - 30(3x) + 435(3x)^2 - 4060(3x)^3 + 27405(3x)^4 - 142506(3x)^5 + 593775(3x)^6 - 2035800(3x)^7 + 5852925(3x)^8 - 14307150(3x)^9 + 30045015(3x)^10 - 54627300(3x)^11 + 86493225(3x)^12 - 119759850(3x)^13 + 145422675(3x)^14 - 155117520(3x)^15 + 145422675(3x)^16 - 119759850(3x)^17 + 86493225(3x)^18 - 54627300(3x)^19 + 30045015(3x)^20 - 14307150(3x)^21 + 5852925(3x)^22 - 2035800(3x)^23 + 593775(3x)^24 - 142506(3x)^25 + 27405(3x)^26 - 4060(3x)^27 + 435(3x)^28 - 30(3x)^29 + (3x)^30)

Теперь сложим все полученные выражения:

x(1-x)^10 = x - 10x^2 + 45x^3 - 120x^4 + 210x^5 - 252x^6 + 210x^7 - 120x^8 + 45x^9 - 10x^10 + x^11

x^2(1-2x)^20 = x^2 - 40x^3 + 570x^4 - 4560x^5 + 24225x^6 - 93240x^7 + 275040x^8 - 643500x^9 + 1202850x^10 - 1824760x^11 + 2275580x^12 - 2349060x^13 + 2028110x^14 - 1454952x^15 + 876525x^16 - 445740x^17 + 190570x^18 - 67280x^19 + 18328x^20

x^3(1-3x)^30 = x^3 - 90x^4 + 3480x^5 - 81660x^6 + 1339350x^7 - 16166160x^8 + 151412640x^9 - 1135595040x^10 + 6825566400x^11 - 34217032000x^12 + 146108012000x^13 - 532589982400x^14 + 1679873767460x^15 - 4604656613600x^16 + 11067198915200x^17 - 23490668976000x^18 + 44093951744000x^19 - 73489919544000x^20 + 107338688055600x^21 - 139843667683840x^22 + 161239389789140x^23 - 166509721602240x^24 + 154742504577440x^25 - 128951071531460x^26 + 95962594214600x^27 - 63482105765760x^28 + 36958495281320x^29 - 18655043696040x^30

Теперь сложим все полученные выражения:

x(1-x)^10 + x^2(1-2x)^20 + x^3(1-3x)^30 = x - 10x^2 + 45x^3 - 120x^4 + 210x^5 - 252x^6 + 210x^7 - 120x^8 + 45x^9 - 10x^10 + x^11 + x^2 - 40x^3 + 570x^4 - 4560x^5 + 24225x^6 - 93240x^7 + 275040x^8 - 643500x^9 + 1202850x^10 - 1824760x^11 + 2275580x^12 - 2349060x^13 + 2028110x^14 - 1454952x^15 + 876525x^16 - 445740x^17 + 190570x^18 - 67280x^19 + 18328x^20 + x^3 - 90x^4 + 3480x^5 - 81660x^6 + 1339350x^7 - 16166160x^8 + 151412640x^9 - 1135595040x^10 + 6825566400x^11 - 34217032000x^12 + 146108012000x^13 - 532589982400x^14 + 1679873767460x^15 - 4604656613600x^16 + 11067198915200x^17 - 23490668976000x^18 + 44093951744000x^19 - 73489919544000x^20 + 107338688055600x^21 - 139843667683840x^22 + 161239389789140x^23 - 166509721602240x^24 + 154742504577440x^25 - 128951071531460x^26 + 95962594214600x^27 - 63482105765760x^28 + 36958495281320x^29 - 18655043696040x^30

В результате получается:
-7305113x^4 + 39865920x^5 - 110296595x^6 + 2026463650x^7 - 27905176212x^8 + 300000859680x^9 - 2592833831264x^10 + 18435299010880x^11 - 109415972869820x^12 + 542749428260864x^13 - 2266132468850740x^14 + 8049629271889521x^15 - 24633683750367904x^16 + 65418164041866950x^17 - 150089175343519570x^18 + 299642382952575051x^19 - 525640343431836280x^20 + 806621951618221832x^21 - 1081852081967963136x^22 + 1230327084317174192x^23 - 1183973161592736720x^24 + 960537408307965760x^25 - 652847266178100482x^26 + 372742311642265600x^27 - 177056638239699248x^28 + 69419075422189920x^29 - 20754125565110360x^30 + 44584900702080x^11 + 22755800x^12 - 2349060x^13 + 2028110x^14 - 1454952x^15 + 876525x^16 - 445740x^17 + 190570x^18 - 67280x^19 + 18328x^20

Таким образом, коэффициент при члене, содержащем x^4, равен -7305113.