Для того чтобы доказать, что tg 15° равно 2 - √3 графическим способом, мы будем использовать треугольник, так как тангенс определяется отношением длин противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.
Шаг 1: На рисунке нарисуем прямоугольный треугольник ABC, где угол А равен 90°, угол В равен 15° и угол С равен 75°.
A
|\
| \
| \
| \
| \
| \
| \
B------C
Шаг 2: Продолжим сторону АС до точки D так, чтобы АС = АД.
Шаг 3: Соединим точки В и D отрезком и обозначим его как BD.
Шаг 4: Найдем длину стороны АС. Мы знаем, что в треугольнике АВС угол В равен 15° и АС = АД, поэтому угол АСД равен 15° и треугольник АСД - равнобедренный.
Шаг 5: Теперь найдем длину стороны АС. Мы знаем, что радиус окружности, расположенной внутри треугольника АСД и касающейся стороны АД, равен половине стороны АС. Также мы знаем, что угол АСД равен 15°, а значит угол ACД равен 75°, так как угол С равен 75°. Зная, что угол ACД равен 75°, мы можем найти угол ДСА, так как сумма углов треугольника равна 180°. Угол ДСА будет равен 180° - 90° - 75° = 15°. Заметим, что угол ДСА и угол ВАС смежные и равны. Значит сторона АС будет равна радиусу окружности, касающейся стороны ВА.
Шаг 6: Опустим перпендикуляр из точки B на сторону АВ. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с стороной АВ как Е.
A
|\
| \
| \
| \
| \
| \
| \
B- - - -D- - - -E
C
Шаг 7: Изобразим этот треугольник BCE, и он будет прямоугольный, так как перпендикуляр опущенный из вершины гарантирует, что угол ВСЕ равен 90° (так как перпендикуляр будет ортогонален стороне ВС, а значит углы ВСЕ и ВСА смежные и равны, и также угол ВСЕ равен 90°).
Шаг 8: Теперь найдем длину стороны ВС. Мы уже выяснили, что сторона АС равна радиусу окружности, касающейся стороны ВА. Также изучим треугольник АВС. У него угол ВСА равен 75°, а угол ВАС равен 30° (так как угол CAB равен 90° и угол ВАС равен 180° - 90° - 60°). Заметим, что БСА и ВАС смежные и равны. Значит, сторона ВС будет равна радиусу окружности, касающейся стороны АС.
Шаг 9: Итак, мы нашли, что сторона ВС равна стороне АВ.
Шаг 10: Теперь найдем отношение длины стороны BC к длине стороны EB (катету, прилежащему к углу ВСЕ в прямоугольном треугольнике BCE). Угол В равен 15°, поэтому мы можем использовать тангенс угла 15°, который определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Следовательно, tg 15° = BC / EB.
Шаг 11: Вспомним, что сторона ВС равна стороне АВ, поэтому BC = AC. Также мы уже знаем, что сторона АС равна длине окружности, касающейся стороны ВА, поэтому AC = АС = 2 - √3 (это соответствует радиусу окружности).
Шаг 12: Теперь мы можем выразить EB через стороны ВС и ВСЕ. Мы знаем, что сторона ВС равна стороне АВ, пусть это будет a. Также у нас есть прямоугольный треугольник BCE, где угол ВСЕ равен 90°. Поэтому, применив теорему Пифагора, мы можем найти значение EB: EB = √(a^2 - a^2) = √0 = 0.
Шаг 13: Подставим значения BC = AC = 2 - √3 и EB = 0 в уравнение tg 15° = BC / EB: tg 15° = (2 - √3) / 0.
Шаг 14: Если делать деление на ноль, то получим бесконечность.
Шаг 15: Вывод: tg 15° не имеет значения, так как деление на ноль невозможно.
Таким образом, мы доказали, что tg 15° не имеет конкретного числового значения.
Шаг 1: На рисунке нарисуем прямоугольный треугольник ABC, где угол А равен 90°, угол В равен 15° и угол С равен 75°.
A
|\
| \
| \
| \
| \
| \
| \
B------C
Шаг 2: Продолжим сторону АС до точки D так, чтобы АС = АД.
Шаг 3: Соединим точки В и D отрезком и обозначим его как BD.
Шаг 4: Найдем длину стороны АС. Мы знаем, что в треугольнике АВС угол В равен 15° и АС = АД, поэтому угол АСД равен 15° и треугольник АСД - равнобедренный.
Шаг 5: Теперь найдем длину стороны АС. Мы знаем, что радиус окружности, расположенной внутри треугольника АСД и касающейся стороны АД, равен половине стороны АС. Также мы знаем, что угол АСД равен 15°, а значит угол ACД равен 75°, так как угол С равен 75°. Зная, что угол ACД равен 75°, мы можем найти угол ДСА, так как сумма углов треугольника равна 180°. Угол ДСА будет равен 180° - 90° - 75° = 15°. Заметим, что угол ДСА и угол ВАС смежные и равны. Значит сторона АС будет равна радиусу окружности, касающейся стороны ВА.
Шаг 6: Опустим перпендикуляр из точки B на сторону АВ. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с стороной АВ как Е.
A
|\
| \
| \
| \
| \
| \
| \
B- - - -D- - - -E
C
Шаг 7: Изобразим этот треугольник BCE, и он будет прямоугольный, так как перпендикуляр опущенный из вершины гарантирует, что угол ВСЕ равен 90° (так как перпендикуляр будет ортогонален стороне ВС, а значит углы ВСЕ и ВСА смежные и равны, и также угол ВСЕ равен 90°).
Шаг 8: Теперь найдем длину стороны ВС. Мы уже выяснили, что сторона АС равна радиусу окружности, касающейся стороны ВА. Также изучим треугольник АВС. У него угол ВСА равен 75°, а угол ВАС равен 30° (так как угол CAB равен 90° и угол ВАС равен 180° - 90° - 60°). Заметим, что БСА и ВАС смежные и равны. Значит, сторона ВС будет равна радиусу окружности, касающейся стороны АС.
Шаг 9: Итак, мы нашли, что сторона ВС равна стороне АВ.
Шаг 10: Теперь найдем отношение длины стороны BC к длине стороны EB (катету, прилежащему к углу ВСЕ в прямоугольном треугольнике BCE). Угол В равен 15°, поэтому мы можем использовать тангенс угла 15°, который определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Следовательно, tg 15° = BC / EB.
Шаг 11: Вспомним, что сторона ВС равна стороне АВ, поэтому BC = AC. Также мы уже знаем, что сторона АС равна длине окружности, касающейся стороны ВА, поэтому AC = АС = 2 - √3 (это соответствует радиусу окружности).
Шаг 12: Теперь мы можем выразить EB через стороны ВС и ВСЕ. Мы знаем, что сторона ВС равна стороне АВ, пусть это будет a. Также у нас есть прямоугольный треугольник BCE, где угол ВСЕ равен 90°. Поэтому, применив теорему Пифагора, мы можем найти значение EB: EB = √(a^2 - a^2) = √0 = 0.
Шаг 13: Подставим значения BC = AC = 2 - √3 и EB = 0 в уравнение tg 15° = BC / EB: tg 15° = (2 - √3) / 0.
Шаг 14: Если делать деление на ноль, то получим бесконечность.
Шаг 15: Вывод: tg 15° не имеет значения, так как деление на ноль невозможно.
Таким образом, мы доказали, что tg 15° не имеет конкретного числового значения.