Question

В треугольнике ABC биссектрисы углов BAC и BCA пересекают высоту BH в точках P и Q соответственно (точка H лежит на стороне AC, точка P лежит между точками H и Q).Найдите площадь S треугольника ABC, если BQ = 14, QP=4, PH =9.

Answer 1

Через св-во биссектрисы:

PH:BP=AH:AB=9:18=1:2

Пусть AH=x, тогда AB=2x

Через Пифагора: 3$x^{2}$=$27^{2}$

$x^{2}$=9*27

x=9$\sqrt{3}$

Аналогично, CH:BC=QH:BQ=13:14

Пусть CH=y, тогда BC=14:13y

Пифагор: $(14:13)^{2} y^{2} =y^{2} +27^{2}$

Переносим игрек влево и через разность квадратов: $\frac{1}{13}$*$\frac{27}{13}$$y^{2}$=$27^{2}$

Делим обе части на 27 и получаем: $\frac{1}{169} y^{2} =27$

$y=\sqrt{169*27} =13*3*\sqrt{3} =39\sqrt{3}$

$x+y=9\sqrt{3} +39\sqrt{3} =48\sqrt{3}$

Это основание. А площадь - это половина высоты на основание:

S=0.5*$48\sqrt{3}$*27=648$\sqrt{3}$