Question

Комплексное число изобразить вектором определить его модуль и аргумент. записать все формы записи комплексного числа. z=16-16√3i

Answer 1

По условию:

$z = 16 - 16\sqrt{3}\cdot i$

Найдем модуль и аргумент комплексного числа:

$|z|=\sqrt{16^2+(16\sqrt{3} )^2} =\sqrt{16^2\cdot 4} =32\\\\arg\, z = arctg(\frac{-16\sqrt{3}}{16})=arctg(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$

Тогда экспоненциальная запись числа:

$z=|z|\cdot e^{i\cdot arg\,z}\\\\z=32\cdot e^{-i\frac{\pi}{3} }$

К тригонометрической записи числа можно перейти с формулы Эйлера:

$e^{i\cdot arg\,z}=cos(arg\,z)+i\cdot sin(arg\,z)\\\\z=32\cdot e^{-i\cdot \frac{\pi}{3} }=32\cdot \bigg(cos(-\frac{\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{3} ) \bigg)$

Таким образом, имеем 3 записи числа:

1) Алгебраическая форма:

$z = 16 - 16\sqrt{3}\cdot i$

2) Показательная форма:

$z=32\cdot e^{-i\cdot \frac{\pi}{3} }$

3) Тригонометрическая форма:

$z=32\cdot \bigg(cos(-\frac{\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{3} ) \bigg)$