Решение уравнения будем искать в виде y = erx с калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +2 r + 0 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 0 = 4
Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = ex(Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))
y'' = 2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Еще больший интерес вызывала у жителей Кубани музыка, что было вполне естественно при сохранении глубоких певческих традиций у населения края. В каждой станичной школе пение было обязательным предметом, и почти в каждой православной церкви имелся свой церковный хор. Тридцать шесть воинских частей Кубанского казачьего войска имели оркест-I ры. С 1889 по 1895 г. в Екатеринодаре работал общественный кружок любителей музыки, но он не мог охватить всех желающих приобщиться к музыкальному искусству. Между тем многие родители стремились учить детей играть на музыкальных инструментах, но не хватало опытных учителей. Восполнить этот пробел, взялся известный общественный деятель.Кубани, любитель-музыкант, собиратель казачьих песен Аким Дмитриевич Биг-рай (1855-1909), В 1896 г. он организо-нал и возглавил кружок любителей музыки и драматического искусства. В 1899 г. направил обстоятельное письмо и главную дирекцию Императорского Русского музыкального общества в Петербурге с открыть в Екатеринодаре отделение этого Общества. В 1900 г. Екатеринодарское отделение ИРМО было открыто и начались занятия в музыкальных классах. Большую роль в пропаганде музыкального искусства играл уроженец станицы Старонижестеблиевской Григорий Митрофанович Концевич (1863-1937) — хормейстер, композитор и педагог. Он был хорошо знаком с такими выдающимися композиторами, как М. А. Балакирев (руководитель «Могучей кучки»), Н. А. Римский-Корсаков, А. К. Лядов и другие. С 1892 г. он возглавлял войсковой певческий хор Кубани, который по праву считался одним из лучших хоров в России.Для преподавателей начальных училищ он издал два учебных пособия по пению, подготовил семь сборников народных песен, бытовавших среди казаков.Развивалась музыкальная культура в горских аулах. Правда, некоторые национальные музыкальные инструменты начали исчезать из употребления. На смену им пришли русские фабричные музыкальные инструменты. Основными жанрами оставались танцевальная музыка и народные мелодии.
Пошаговое объяснение:
y'' +2y' = 3ex(cos(x)+sin(x))
Решение уравнения будем искать в виде y = erx с калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +2 r + 0 = 0
D = 22 - 4 • 1 • 0 = 4
Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 1, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 1 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = ex(Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y' = ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))
y'' = 2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 2y' = (2•ex(B•cos(x)-A•sin(x))) + 2(ex((B-A)•sin(x)+(A+B)•cos(x))) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
или
-4•A•ex•sin(x)+2•A•ex•cos(x)+2•B•ex•sin(x)+4•B•ex•cos(x) = 3•ex•(cos(x)+sin(x))
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-4A + 2B = 3
2A + 4B = 3
Решая ее методом обратной матрицы, находим:
A = -3/10;B = 9/10;
Частное решение имеет вид:
y* = ex(-3/10cos(x) + 9/10sin(x))
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: