Добрый день! Давайте решим поставленные задачи последовательно.
a) Первое дифференциальное уравнение дано в виде 2(x + 1)dy = ydx. Чтобы найти его частное решение, нужно разделить обе части уравнения на y и x + 1:
2dy/dx = y/(x + 1).
Теперь давайте разделим переменные. Перенесем все y-содержащие части в левую часть уравнения, а все x-содержащие части - в правую:
(1/y)dy = (1/(x + 1))dx.
Теперь проинтегрируем обе части уравнения по их переменным:
∫(1/y)dy = ∫(1/(x + 1))dx.
Интеграл ∫(1/y)dy можно найти, заменив его на логарифмическую функцию:
ln|y| = ln|x + 1| + C1,
где C1 - произвольная постоянная.
Теперь применим экспоненту ко всему уравнению:
|y| = |x + 1| * e^C1.
Воспользуемся свойством экспоненты: |a * b| = |a| * |b|, где a и b - любые числа. Это позволяет переписать уравнение следующим образом:
|y| = e^C1 * |x + 1|.
Обратите внимание, что e^C1 - это некоторая положительная константа, которую мы можем заменить на константу C2:
|y| = C2 * |x + 1|.
Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения. Однако нам нужно найти его частное решение при у = 2 и x = 1. Подставим эти значения в уравнение и найдем значение константы C2:
|2| = C2 * |1 + 1|.
2 = C2 * 2.
Сокращаем 2-ки:
1 = C2.
Теперь у нас есть итоговое частное решение:
|y| = |x + 1|.
b) Второе дифференциальное уравнение дано в виде y' - 2у - 4 = 0. Чтобы найти его частное решение, избавимся от константы и переменных в правой части уравнения:
y' = 2у + 4.
Перенесем все y-содержащие части в левую часть уравнения, а все x-содержащие части - в правую:
y' - 2у = 4.
Теперь решим этот линейный неоднородный дифференциальный оператор. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения вида y' - 2у = 0.
Выполнив эту операцию, получим yh = Ce^(2x).
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Вначале предположим, что частное решение имеет вид yp = A.
Подставим этот вид в неоднородное уравнение и найдем значение A:
A' - 2A = 4.
Так как A - это константа, то A' = 0:
-2A = 4.
Делим обе части на -2:
А = -2.
Теперь у нас есть итоговое значение частного решения: yp = -2.
Наконец, общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
a) Первое дифференциальное уравнение дано в виде 2(x + 1)dy = ydx. Чтобы найти его частное решение, нужно разделить обе части уравнения на y и x + 1:
2dy/dx = y/(x + 1).
Теперь давайте разделим переменные. Перенесем все y-содержащие части в левую часть уравнения, а все x-содержащие части - в правую:
(1/y)dy = (1/(x + 1))dx.
Теперь проинтегрируем обе части уравнения по их переменным:
∫(1/y)dy = ∫(1/(x + 1))dx.
Интеграл ∫(1/y)dy можно найти, заменив его на логарифмическую функцию:
ln|y| = ln|x + 1| + C1,
где C1 - произвольная постоянная.
Теперь применим экспоненту ко всему уравнению:
|y| = |x + 1| * e^C1.
Воспользуемся свойством экспоненты: |a * b| = |a| * |b|, где a и b - любые числа. Это позволяет переписать уравнение следующим образом:
|y| = e^C1 * |x + 1|.
Обратите внимание, что e^C1 - это некоторая положительная константа, которую мы можем заменить на константу C2:
|y| = C2 * |x + 1|.
Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения. Однако нам нужно найти его частное решение при у = 2 и x = 1. Подставим эти значения в уравнение и найдем значение константы C2:
|2| = C2 * |1 + 1|.
2 = C2 * 2.
Сокращаем 2-ки:
1 = C2.
Теперь у нас есть итоговое частное решение:
|y| = |x + 1|.
b) Второе дифференциальное уравнение дано в виде y' - 2у - 4 = 0. Чтобы найти его частное решение, избавимся от константы и переменных в правой части уравнения:
y' = 2у + 4.
Перенесем все y-содержащие части в левую часть уравнения, а все x-содержащие части - в правую:
y' - 2у = 4.
Теперь решим этот линейный неоднородный дифференциальный оператор. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения вида y' - 2у = 0.
Выполнив эту операцию, получим yh = Ce^(2x).
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Вначале предположим, что частное решение имеет вид yp = A.
Подставим этот вид в неоднородное уравнение и найдем значение A:
A' - 2A = 4.
Так как A - это константа, то A' = 0:
-2A = 4.
Делим обе части на -2:
А = -2.
Теперь у нас есть итоговое значение частного решения: yp = -2.
Наконец, общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
y = yh + yp = Ce^(2x) - 2.