Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.
Смежные углы - это углы, которые имеют общую вершину, одну общую сторону, а вторые их стороны являются продолжением друг друга. В сумме смежные углы составляют развернутый угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Пусть угол 1 = х, угол 2 = у, тогда: х + у = 180. По условию: х - у = 30. Мы имеет систему линейных уравнений с двумя неизвестными: х + у = 180; х - у = 30. В первом уравнении выразим у через х: у = 180 - х. Полученное выражение подставим во второе уравнение системы: х - (180 - х) = 30. Решим уравнение с одной неизвестной: х - 180 + х = 30; 2х = 30 + 180; 2х = 210; х = 210/2 (по пропорции); х = 105. Таким образом, угол 1 = 105 градусов. Полученное значение х подставим в выражение у: у = 180 - х = 180 - 105 = 75. Угол 2 = у = 75 градусов. ответ: угол 2 = 75 градусов
а)27:9=3
45:9=5
b)158:2=79
600:2=300
с)1080:30=36
2130:30=71