Шахматную доску разбили на двухклеточные прямоугольники. Каждый из них требуется закрасить каким-нибудь цветом так, чтобы любые две клетки доски, отстоящие на ход коня, были раскрашены в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит для этого? (Ход коня состоит в перемещении на две клетки по горизонтали и одну по вертикали, или же на две клетки по вертикали и одну по горизонтали.)
Шаг 1: Рассмотрим игровую доску 8x8. Выведем все комбинации клеток, отстоящих на ход коня, и проверим, можем ли мы закрасить их в разные цвета. Таких комбинаций у нас будет 9: (((1,2), (3,4)), ((1,2), (4,3)), ((2,1), (4,3)), ((2,1), (3,4)), ((2,3), (4,1)), ((2,3), (1,4)), ((3,2), (1,4)), ((3,2), (4,1)), ((3,4), (1,2)). Комбинации можно рассматривать в произвольном порядке, так как результат будет одинаковым.
Шаг 2: Разобьем доску на несколько двухклеточных прямоугольников. Мы можем рассматривать каждый такой прямоугольник как отдельную клетку. Таким образом, у нас будет 4 таких "клетки" - верхний левый угол, верхний правый угол, нижний левый угол, нижний правый угол доски.
Шаг 3: Накладываем полученные комбинации внутри каждого прямоугольника. Начнем с верхнего левого угла. Этот угол содержит клетки (1,2) и (3, 4). Как мы рассмотрели ранее, они могут быть закрашены в разные цвета. Теперь рассмотрим верхний правый угол. Он содержит клетки (2,1) и (4,3). Исходя из предыдущих рассуждений, эти клетки также могут быть закрашены в разные цвета. Аналогично, клетки нижнего левого и нижнего правого углов также могут быть закрашены в разные цвета.
Шаг 4: В данном случае, мы можем закрашивать углы доски так, что верхний левый угол в один цвет, а верхний правый, нижний левый и нижний правый углы в другой цвет. Таким образом, нам понадобятся как минимум два цвета для закрашивания шахматной доски.
Ответ: Для закрашивания шахматной доски, разбитой на двухклеточные прямоугольники, нам минимально потребуется два цвета.