Question

вычислить предел! По идее правильный ответ -10, но я без понятия как его получить, если кто-то сможет объяснить - буду бесконечно благодарен. $\lim_{x \to 1} \frac{sin(5\pi x)*arcsin(x-1) }{arccos(x-1)*(x^2-2x+1)}$

Answer 1

-10

Пошаговое объяснение:

Нам тут понадобится правило Лопиталя.

если $\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac fg=\dfrac00$ или $\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac fg=\dfrac\infty\infty$ то $\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac fg=\displaystyle \lim_{n \to a} \dfrac {f'}{g'}$

1

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(x-1)}{\arccos(x-1)\cdot(x^2-2x+1)}$

2 Вынесем -1 по формуле $\arcsin(x-1)=-\arcsin(1-x)$

$\displaystyle -\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{\arccos(x-1)\cdot(x^2-2x+1)}$

3 Запишем предел произведения дробей как произведение пределов

$\displaystyle- \lim_{x \to 1} \frac{1}{\arccos(x-1)}\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}$

4 Подставим в первом пределе значение и посчитаем

$\displaystyle- \lim_{x \to 1} \frac{1}{\arccos(1-1)}\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}$

$\displaystyle-\lim_{x \to 1}\frac{1}{\arccos0}\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}$

$\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{x^2-2x+1}$

5 Cоберем квадрат в знаменателе $x^2-2x+1=(x-1)^2$

$\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)}{(x-1)^2}$

6 Получили предел вида $\dfrac00$ воспользуемся правилом Лопиталя

$\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{(\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x))'}{(x-1)'}$

$\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{\sin(5\pi x)'\cdot\arcsin(x-1)+\sin(5\pi x)\cdot\arcsin(1-x)'}{2x-2}$

$\displaystyle-\dfrac2\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{(-x(x-2))^{-\frac12}\bigg(5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x) \bigg)}{2x-2}$

Тут я сразу вынес за скобки

7 Вынесем $\dfrac12$ (взял 2 в знаменателе) за предел и сократим

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot\lim_{x \to 1} \frac{(-x(x-2))^{-\frac12}\bigg(5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x) \bigg)}{x-1}$

8 Распишем как произведение пределов

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot\lim_{x \to 1}(-x(x-2))^{-\frac12}\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x)}{x-1}$

9 Посчитаем первый предел

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot\lim_{x \to 1}(-1(1-2))^{-\frac12}\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x)}{x-1}$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot1\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)-\sin(5\pi x)}{x-1}$

10 Распишем разность дробей в пределе

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)}{x-1}-\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}$

11 Распишем предел разности как разность пределов

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(\lim_{x \to 1} \frac{5\pi\sqrt{-x(x-2)}\arcsin(1-x)\cos(5\pi x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

12 Распишем первый предел как произведение пределов и вынесем 5π

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi\lim_{x \to 1}\sqrt{-x(x-2)}\cos(5\pi x)\lim_{x \to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

13 Посчитаем первый предел

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi\lim_{x \to 1}\sqrt{-1(1-2)}\cos(5\pi )\lim_{x \to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{x-1}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

14 В первом пределе снова неопределённость $\dfrac00$, снова Лопиталем

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}\frac{(\arcsin(1-x))'}{(x-1)'}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}-\frac1{\sqrt{-x(x-2)}}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

15 Теперь мы можем посчитать первый предел

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(-5\pi\lim_{x \to 1}-\frac1{\sqrt{-1(1-2)}}-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-\lim_{x \to 1}\frac{\sin(5\pi x)}{x-1}\Bigg)$

16 Снова используем правило Лопиталя, так как у нас неопределённость $\dfrac00$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-\lim_{x \to 1}\frac{(\sin(5\pi x))'}{(x-1)'}\Bigg)$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-\lim_{x \to 1}5\pi\cos(5\pi x)\Bigg)$

17 Выносим константу

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-5\pi\lim_{x \to 1}\cos(5\pi x)\Bigg)$

18 Посчитаем предел

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi-5\pi\lim_{x \to 1}\cos(5\pi )\Bigg)\\$

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot \Bigg(5\pi+5\pi\Bigg)$

19 Досчитываем!

$\displaystyle-\dfrac1\pi\cdot 10\pi$

$-10$

МЫ ПОЛУЧИЛИ ОТВЕТ