Даны координаты точек A(-1;1), B(2;5), C(3;3). Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт i и j и найти длины этих векторов
2) найти орт вектора AB
3)изобразить векторы AB и AC в координатной плоскости xOy
4) найти вектора d1=3AB-2AС и d2=2AB+3AC аналитически и геометрически
1) Запишем векторы AB и AC в системе орт i и j.
Вектор AB = B - A = (2 - (-1), 5 - 1) = (3, 4)
Вектор AC = C - A = (3 - (-1), 3 - 1) = (4, 2)
Длина вектора AB вычисляется по формуле |AB| = √(x^2 + y^2), где x и y - координаты вектора AB.
|AB| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
Длина вектора AC вычисляется аналогично:
|AC| = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
2) Чтобы найти орт вектора AB, нужно найти вектор с теми же направляющими косинусами, но длиной 1.
Для этого разделим вектор AB на его длину:
Орт вектора AB = AB / |AB| = (3/5, 4/5)
3) Изобразим векторы AB и AC в координатной плоскости xOy.
В системе координат, где ось x горизонтальная, а ось y вертикальная:
- Начинаем от точки A(-1, 1)
- Для вектора AB, идем вправо на 3 единицы по оси x и вверх на 4 единицы по оси y.
- Для вектора AC, идем вправо на 4 единицы по оси x и вверх на 2 единицы по оси y.
- Заканчиваем на точке B(2, 5) и C(3, 3) соответственно.
4) Найдем вектора d1=3AB-2AC и d2=2AB+3AC аналитически и геометрически.
a) Аналитически:
d1 = 3AB - 2AC = 3(3, 4) - 2(4, 2) = (9, 12) - (8, 4) = (1, 8)
d2 = 2AB + 3AC = 2(3, 4) + 3(4, 2) = (6, 8) + (12, 6) = (18, 14)
b) Геометрически:
- Чтобы найти вектор d1, нужно: взять вектор AB, умножить его на 3, взять вектор AC, умножить его на 2, вычесть второе из первого.
- Чтобы найти вектор d2, нужно: взять вектор AB, умножить его на 2, взять вектор AC, умножить его на 3, сложить результаты.
- Получаем векторы d1 = (1, 8) и d2 = (18, 14).
Далее можно продолжить решать дополнительные задачи, если они есть, или задать новый вопрос.