Пошаговое объяснение:
ДАНО: y= 4*x/(x²+4)
1. Область определения: Непрерывная гладкая.
D(y)= R = (-∞;+∞).
2. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
y = 4*x/(x²+4) = 0 . Нуль функции: x = 0.
3. Пересечение с осью ОУ: Y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0).
Положительна: Y(x)>0 - X∈(0;+∞;)
5. Проверка на чётность.
Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x).
6. Поиск экстремумов по первой производной.
Y'(x) = (16-4*x²)/(x²+4)² = 0 Решаем в числителе? 4*x² = 16,
x1 = -2 x2 = 2
7. Локальные экстремумы:
Ymin(-2 = - 1, Ymax(2) = 1.
8. Интервалы монотонности.
Убывает: x∈(-∞;-2)∪(2;+∞)
Возрастает: x∈[-2;2]
9. Поиск перегибов по второй производной.
Y"(x) = 8*x*(x²-12)/(x²+4)³ = 0.
Точки перегиба: при х1 = -2√3 (≈-3,5), х2= 0, х3 = 2√3 (≈3,5) 11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-2√3;0)∪(2√3;+∞),
выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-2√3)∪(0;2√3);
12. Наклонная асимптота.
k = lim(+∞) Y(x)/x = 4/(x²+4) = 0
b = lim(+∞) Y(x) = 0
Горизонтальная асимптота: Y = 0.
13. Область значений. E(y) - y∈[-1;1].
14. График функции на рисунке в приложении.
Графики производных - излишества для демонстрации функций.
![Исследовать дифференциального исчисления функцию и построить ее график [tex]y=\frac{4x}{4+x^{2} }[/t](/tpl/images/1031/7785/7dc79.jpg)
ДАНО: Y= - x⁴ + 2*x²
ИССЛЕДОВАТЬ с производных.
ДУМАЕМ силой разума - это парабола четвертого порядка с отрицательным коэффициентом - ветви вниз.
РЕШЕНИЕ
Y = - x²*(x² -2) = - x²*(x - √2)*(x + √2) - формула - разность квадратов.
1. Область определения - x∈R, X∈(-∞;+∞).
Вывод - непрерывная, разрывов - нет, вертикальных асимптот - нет.
И сразу ВИДИМ четыре корня функции.
2. Пересечение с осью Х - в корнях функции: х₁,₂ = 0, х₃ = -√2, х₄ =√2
(на график)
Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Х∈(-∞;-√2)∪(√2;+∞)
Положительна: Х∈(-√2;0)∪(0;√2)
3. Первая производная - поиск локальных экстремумов.
Y'(x) = - 4*x³ + 4*x = -4*x*(x²-4) = -4*x(x-1)*(x+1) = 0.
Видим три корня производной: х₁ = -1, х₂ = 0, х₃ = 1.
Это уже кубическая функция и тоже с отрицательным коэффициентом.
Схема знаков: (-∞) >0 (-1) <0 (0) >0 (1) <0 (+∞) - это надо видеть.
4. Локальные экстремумы и монотонность.
Максимум: Y(-1) = 1, минимум: Y(0) = 0, максимум: Y(+1) = 1 - (на график)
Возрастает: Х∈(-∞;-1)∪(0;1) и убывает: Х∈(-1;0)∪(1;+∞)
5. Вторая производная поиск точек перегиба.
Y"(x) = -12*x²+ 4 = 0. x = +/- 1/√3 = +/- √3/3 ≈ 0.58
6. Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞; -0.58)∪(0.58;+∞)
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-0,58;0,58) - между корнями Y"(x).
502
1)-2×(-5)×13=13
2)-2,5×(-1,3)×4=13
3)-0,25×(-0,3)×(-4)= -0,3
4)(-4)×(-7/10)×5=14
5)-8/15×(-1/2)×(-3/4)=-1/5
6)-3/4×(-5)×4=15
503.
1)-7×(-0,5)×(-3)(-2)=21
2)(-1.25)×5×(-8)×(-6)= -300
3)0,2×(-25)×(-5)×4=100
4)0,5×(-20)×(-4)×(-8)= -320
Пошаговое объяснение:
502.
1)13
2)13
3) -0,3
4)14
5) -1/5
6)15
503.
1)21
2)-300
3)100
4) -320