Даны координаты вершин треугольника ABC : A(−12;−1); B(0;−10); C(4;12).
Необходимо найти:
1. длину стороны AB;
2. уравнение сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;
3. угол ψ между прямыми AB и BC в радианах;
4. уравнение высоты CD и ее длину;
5. уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD;
6. уравнение прямойL, которая проходит через точку K параллельно к стороне AB;
7. координаты точкиF(xF , yF ) , которая находится симметрично точке A относительно прямой CD.
Для нахождения уравнения прямой, параллельной стороне AC, нужно использовать координаты двух точек - A(–6, –2) и C(2, –8).
Сначала найдем угловой коэффициент прямой AC:
m_AC = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-8 - (-2)) / (2 - (-6)) = -6 / 8 = -3/4.
Так как прямая BN параллельна прямой AC, их угловые коэффициенты должны быть равны. Получаем уравнение прямой BN:
y - y1 = m_AC * (x - x1),
где (x1, y1) это координаты точки B(4, 8):
y - 8 = -3/4 * (x - 4).
2. Уравнение медианы CD:
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана CD соединяет вершину C(2, –8) с серединой стороны AB.
Для нахождения середины стороны AB, нужно найти среднее арифметическое координат точек A(–6, –2) и B(4, 8):
x_m = (x_A + x_B) / 2 = (-6 + 4) / 2 = -1,
y_m = (y_A + y_B) / 2 = (-2 + 8) / 2 = 3.
Затем, используем уравнение прямой, проходящей через точку C(2, –8) и середину стороны AB (–1, 3):
m_CD = (y_m - y_C) / (x_m - x_C) = (3 - (-8)) / (-1 - 2) = 11 / (-3) = -11/3.
Получаем уравнение медианы CD:
y - y_C = m_CD * (x - x_C),
где (x_C, y_C) это координаты точки C(2, –8):
y + 8 = -11/3 * (x - 2).
3. Уравнение высоты AE:
Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с прямой, содержащей противоположную сторону. В данном случае, высота AE соединяет вершину A(–6, –2) с прямой BC.
Для нахождения уравнения прямой BC, используем координаты точек B(4, 8) и C(2, –8):
m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (-8 - 8) / (2 - 4) = -16 / (-2) = 8.
Поэтому уравнение прямой BC:
y - y_B = m_BC * (x - x_B),
где (x_B, y_B) это координаты точки B(4, 8):
y - 8 = 8 * (x - 4).
Теперь, чтобы найти уравнение высоты AE, используем уравнение прямой, перпендикулярной прямой BC и проходящей через вершину A(–6, –2).
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой BC, будет равен отрицательному обратному значения углового коэффициента прямой BC: m_AE = -1 / m_BC = -1 / 8.
Получаем уравнение высоты AE:
y - y_A = m_AE * (x - x_A),
где (x_A, y_A) это координаты точки A(–6, –2):
y + 2 = -1/8 * (x + 6).
4. Угол В:
Угол B можно найти, используя теорему косинусов для треугольника ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(B),
где BC, AB и AC - длины сторон треугольника.
Длина стороны BC:
BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((2 - 4)^2 + ((-8) - 8)^2) = √((-2)^2 + (-16)^2) = √(4 + 256) = √260.
Длина стороны AB:
AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((4 - (-6))^2 + (8 - (-2))^2) = √((10)^2 + (10)^2) = √(100 + 100) = √200.
Длина стороны AC:
AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((2 - (-6))^2 + ((-8) - (-2))^2) = √((8)^2 + ((-6)^2) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Теперь, подставим значения в теорему косинусов:
(√260)^2 = (√200)^2 + (10)^2 - 2 * √200 * 10 * cos(B).
260 = 200 + 100 - 20 * cos(B).
260 = 300 - 20 * cos(B).
20 * cos(B) = 40.
Теперь найдем cos(B):
cos(B) = 40 / 20 = 2.
Чтобы найти угол B, нужно найти обратный косинус от cos(B):
B = arccos(2).
Угол В не имеет решения, так как значение cos(B) равно 2, а арккосинус не определен при значениях больше 1 (-1 <= cos(B) <= 1).
5. Центр тяжести треугольника:
Центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника. Для нахождения центра тяжести треугольника, нужно найти среднее арифметическое координат точек A(–6, –2), B(4, 8) и C(2, –8).
x_g = (x_A + x_B + x_C) / 3 = (-6 + 4 + 2) / 3 = 0,
y_g = (y_A + y_B + y_C) / 3 = (-2 + 8 - 8) / 3 = -2.
Таким образом, центр тяжести этого треугольника находится в точке (0, -2).