Рассмотреть задачу о наполнении туалетного бачка. Бачок имеет форму параллелепипеда с площадью основания S. При наполнении его водой поднимается поплавок, который постепенно закрывает кран подачи воды. Будем считать, что с увеличением уровня воды h в бачке площадь отверстия крана S уменьшается по линейному закону S(h)=S0(1-h/hmax). S0=S(0) площадь полностью открытого отверстия, а hmax предельный уровень воды. Считаем, что объемный расход через кран Q=v*s также есть линейная функция от h. Найти зависимость уровня воды в бачке от времени и оценить время наполнения бачка.
А. С. Пушкин "Медный всадник" ..Ужасный день! Нева всю ночь Рвалася к морю против бури, Не одолев их буйной дури.. . И спорить стало ей невмочь.. . Поутру над ее брегами Теснился кучами народ, Любуясь брызгами, горами И пеной разъяренных вод. Но силой ветров от залива Перегражденная Нева Обратно шла, гневна, бурлива, И затопляла острова, Погода пуще свирепела, Нева вздувалась и ревела, Котлом клокоча и клубясь, И вдруг, как зверь остервенясь, На город кинулась. Пред нею Все побежало, все вокруг Вдруг опустело - воды вдруг Втекли в подземные подвалы, К решеткам хлынули каналы, И всплыл Петрополь как тритон, По пояс в воду погружен.
Осада! приступ! злые волны, Как воры, лезут в окна. Челны С разбега стекла бьют кормой. Лотки под мокрой пеленой, Обломки хижин, бревны, кровли, Товар запасливой торговли, Пожитки бледной нищеты, Грозой снесенные мосты, Гроба с размытого кладбища Плывут по улицам! Народ Зрит божий гнев и казни ждет. Увы! все гибнет: кров и пища! Где будет взять? В тот грозный год Покойный царь еще Россией Со славой правил. На балкон, Печален, смутен, вышел он И молвил: "С божией стихией Царям не совладеть". Он сел И в думе скорбными очами На злое бедствие глядел. Стояли стогны озерами, И в них широкими реками Вливались улицы. Дворец Казался островом печальным. Царь молвил - из конца в конец, По ближним улицам и дальным В опасный путь средь бурных вод Его пустились генералы и страхом обуялый И дома тонущий народ.
Глядит, Узнать не может. Вид ужасный! Все перед ним завалено; Что сброшено, что снесено; Скривились домики, другие Совсем обрушились, иные Волнами сдвинуты; кругом, Как будто в поле боевом, Тела валяются..
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
Складываем: a1 + a2 + a3 + a4 = 4a1 + 6d = 124 => 2a1 + 3d = 62
Аналогично для 4-х крайних членов:
a(n-3) = a1 + (n-4)d
a(n-2) = a1 + (n-3)d
a(n-1) = a1 + (n-2)d
an = a1 + (n-1)d
складываем: a(n-3) + a(n-2) + a(n-1) + an = 4a1 + 4dn - 10d = 156 => 2a1 + 2dn - 5d = 78
Получаем систему уравнений:
2a1 + 3d = 62
2a1 + 2dn - 5d = 78
вычтем из 2-го 1-ое
2dn -8d = 16 dn - 4d = 8 d = 8/(n-4)
2a1 + 3d = 62 2a1 + 3d = 62 2a1 + 24(n-4) = 62
a1 = 0.5(62 - 24/(n-4)) = 0.5(62n - 272)/(n-4) = (31n - 136)/(n-4)
Sn = 0.5(2a1 + (n-1))n = (a1 + 0.5(n-1)d)n = ((31n - 136)/(n-4) + 0.5[8n/(n-4) - 8/(n-4)])n = ((31n - 136)/(n-4) + 4n/(n-4) + 4/(n-4))n = n(35n - 140)/(n-4) = 350
n(7n - 28)/(n-4) = 70
7n^2 - 28n = 70n - 280
7n^2 - 98n + 280 = 0
n^2 - 14n + 40 = 0
По теореме Виета видим корни:
n1 = 4, n2 = 10
Ну 1-й корень не подходит так как у нас по условию членов минимум восемь. Поэтому ответ 10.
У данной прогрессии 10 членов.