Question

добрые люди Нужно решить три интеграла через (выражать через t и dt) самое главное мне нужно решение, заранее Здоровья Вам.
Сразу говорю через приложения мне не нужно.

Answer 1

$3) ~ \displaystyle \int \frac{6x}{3x - 2} \, dx = \left|\begin{array}{ccc}3x - 2 = t\\x = \dfrac{t + 2}{3} \\dx = \dfrac{dt}{3} \end{array}\right| = \int \frac{6 \cdot \dfrac{t + 2}{3}}{t} \cdot \dfrac{dt}{3} = \frac{2}{3} \int \frac{t + 2}{t} \, dt = \\\\= \frac{2}{3} \int \left(\frac{t}{t} + \frac{2}{t} \right)\, dt = \frac{2}{3} \int \left(1+ \frac{2}{t} \right)\, dt =\frac{2}{3} \left(\int dt + 2\int \frac{dt}{t} \right) =\\\\$

$\displaystyle =\frac{2}{3} \left(t + 2\ln |t| \right) + C = \frac{2}{3} t + \frac{4}{3} \ln |t| + C = \frac{2}{3} (3x - 2) + \frac{4}{3} \ln |3x - 2| + C =\\\\= 2x - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \ln |3x - 2| + C = 2x + \frac{4}{3} \ln |3x - 2| + C, ~ C \in \mathbb{R}$

$4) ~ \displaystyle \int \frac{dx}{x (\ln x - 5)^{4}} = \displaystyle \int \frac{1}{(\ln x - 5)^{4}} \cdot \frac{dx}{x} = \left | {{\ln x = t} \atop {\dfrac{dx}{x} } = dt} \right| = \int \frac{dt}{(t - 5)^{4}} =\\= \int (t - 5)^{-4} \, d(t-5) = \frac{(t - 5)^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C = -\frac{1}{3(t - 5)^{3}} +C=\\=-\frac{1}{3(\ln x - 5)^{3}} +C, ~ C \in \mathbb{R}$

$5) ~ \displaystyle \int \frac{\text{tg}^{4}\,x}{7 \cos^{2} x}\,dx= \frac{1}{7} \int \text{tg}^{4}\,x \cdot \frac{dx}{ \cos^{2} x} = \left | {{\text{tg} \, x = t} \atop {\dfrac{dx}{\cos^{2}x} } = dt} \right| = \frac{1}{7} \int t^{4} \,dt = \\= \frac{1}{7} \cdot \frac{t^{4 + 1}}{4 + 1} + C = \frac{t^{5}}{35}+ C = \frac{\text{tg}^{5} \, x}{35}+ C, ~ C \in \mathbb{R}$