Question

С интегральной формулы Коши или формулы типа Коши вычислить:

Answer 1

$2i\pi$

Пошаговое объяснение:

Подынтегральная функция $f(x)$ имеет два простых нуля в области, ограниченной контуром $|z|=4$: $z_{1,2}=\dfrac{4\pm i\sqrt{20-16}}{2}=2\pm i,|z_{1,2}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

А потому введем внутренние непересекающиеся контуры, например -

$\gamma _1:|z-(2+i)|=\dfrac{1}{2}$ и $\gamma _2:|z-(2-i)|=\dfrac{1}{2}$ . Тогда в области $D$ , ограниченной окружностью $\Gamma:|z|=4$ и указанными внутренними контурами, подынтегральная функция аналитическая, а внутри каждой из областей, ограниченных внутренними контурами, имеет ровно один ноль, и он простой.

А тогда $\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=\int\limits_{\gamma_1}f(z)dz+\int\limits_{\gamma_2}f(z)dz$

Значит

$\int\limits_{\gamma_1}f(z)dz=\int\limits_{\gamma_1}\dfrac{\frac{z+2}{z-(2-i)}}{z-(2+i)}dz=2\pi i\cdot \dfrac{(2+i)+2}{(2+i)-(2-i)}=2\pi i\cdot \dfrac{(4+i)}{2i}=\pi\cdot (4+i)$

$\int\limits_{\gamma_2}f(z)dz=\int\limits_{\gamma_1}\dfrac{\frac{z+2}{z-(2+i)}}{z-(2-i)}dz=2\pi i\cdot \dfrac{(2-i)+2}{(2-i)-(2+i)}=2\pi i\cdot \dfrac{(4-i)}{-2i}=\pi\cdot (i-4)$

Подставляя вычисленные значения, получим

$\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=\pi(4+i)+\pi (i-4)=2i\pi$